3.（2.0分）下列选项中极限不存在的是（）.A lim_(n to infty) 2^nB lim_(n to infty) (1)/(2^n)C lim_(n to infty) (3n^2+n-2)/(2n^2)-n+1D lim_(n to infty) (3n^2+n-2)/(2n^3)-n+1
题目解答
答案
这是一道关于数列极限的题目，我们需要逐一分析四个选项中极限的存在性。在数列极限中，如果一个数列趋向于一个确定的常数，则极限存在；如果趋向于无穷大（$\infty$）或在多个值之间振荡，则极限不存在。
分析各个选项：
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选项 A： $\lim_{n \to \infty} 2^n$
这是一个底数大于 1 的指数数列。随着 $n$ 趋向于无穷大，$2^n$ 的值会无限增大，趋向于正无穷大（$+\infty$）。在严格的极限定义中，趋向于无穷大意味着极限不存在（或者说极限为无穷大）。 -
选项 B： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}$
当 $n \to \infty$ 时，分母 $2^n \to \infty$。因此，分数 $\frac{1}{2^n}$ 趋向于 0。即 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$。极限存在。 -
选项 C： $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}$
这是一个有理分式数列的极限。分子和分母的最高次幂都是 $n^2$。我们可以将分子和分母同时除以 $n^2$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n^2}$ 都趋向于 0。所以极限为 $\frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}$。极限存在。 -
选项 D： $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}$
这也是一个有理分式数列的极限。分母的最高次幂是 $n^3$，高于分子的最高次幂 $n^2$。将分子和分母同时除以 $n^3$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}}$
当 $n \to \infty$ 时，分子趋向于 0，分母趋向于 2。所以极限为 $\frac{0}{2} = 0$。极限存在。
结论：
通过上述推理，选项 B、C、D 的极限都存在且为有限值，只有选项 A 的极限趋向于无穷大，因此极限不存在。
正确答案是 A。
解析
本题考查数列极限的存在性判断。解题思路是根据不同类型数列极限的计算方法，分别对每个选项进行分析，判断其极限是否存在。若数列趋向于一个确定的常数，则极限存在；若趋向于无穷大或在多个值之间振荡，则极限不存在。
- 选项A：$\lim_{n \to \infty} 2^n$
对于指数函数$y = a^n$（$a\gt{}1$），当$n$趋向于无穷大时，函数值会无限增大。在本题中$a = 2\gt{}1$，所以随着$n \to \infty$，$2^n$的值会无限增大，即$\lim_{n \to \infty} 2^n = +\infty$。在严格的极限定义中，趋向于无穷大意味着极限不存在。 - 选项B：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}$
当$n \to \infty$时，分母$2^n \to \infty$。根据极限的性质，当分子为常数，分母趋向于无穷大时，整个分数趋向于$0$，所以$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$，极限存在。 - 选项C：$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}$
这是一个有理分式数列的极限，分子和分母的最高次幂都是$n^2$。为了计算极限，我们将分子和分母同时除以$n^2$：
$\begin{align*}\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}&=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\end{align*}$
根据极限的性质，当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，$\frac{1}{n^2} \to 0$。所以$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}$，极限存在。 - 选项D：$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}$
这也是一个有理分式数列的极限，分母的最高次幂是$n^3$，高于分子的最高次幂$n^2$。我们将分子和分母同时除以$n^3$：
$\begin{align*}\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}&=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^3} + \frac{n}{n^3} - \frac{2}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{n}{n^3} + \frac{1}{n^3}}\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}}\end{align*}$
当$n \to \infty$时，$\frac{3}{n} \to 0$，$\frac{1}{n^2} \to 0$，$\frac{2}{n^3} \to 0$，$\frac{1}{n^3} \to 0$。所以$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = 0$，极限存在。