16.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导, (a)=f(b), 且f(x)在[a,b ]上不恒为-|||-常数.证明:存在ξ, in (a,b), 使得 '(xi )gt 0, '(n)lt 0.

步骤 1：利用连续函数的性质
由于f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，根据连续函数的性质，如果f(x)在[a,b]上不恒为常数，那么f(x)在(a,b)内至少有一个极值点。不妨设这个极值点为c，即存在$c\in (a,b)$，使得$f(c)\neq f(a)=f(b)$。

步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，对于区间[a,c]和[c,b]，分别存在$\xi \in (a,c)$和$\eta \in (c,b)$，使得
$$f'(\xi )=\dfrac {f(c)-f(a)}{c-a}$$
$$f'(\eta )=\dfrac {f(b)-f(c)}{b-c}$$

步骤 3：分析导数的符号
由于$f(c)\neq f(a)=f(b)$，不妨设$f(c)\gt f(a)=f(b)$，则有
$$f'(\xi )=\dfrac {f(c)-f(a)}{c-a}\gt 0$$
$$f'(\eta )=\dfrac {f(b)-f(c)}{b-c}\lt 0$$
因此，存在$\xi \in (a,b)$和$\eta \in (a,b)$，使得$f'(\xi )\gt 0$和$f'(\eta )\lt 0$。