题目

二、判断题（共20题，40.0分）50.（判断题，2.0分）级数sum_(n=1)^infty(3)/(sqrt[3](n^2)+1)收敛A 对B 错

二、判断题（共20题，40.0分） 50.（判断题，2.0分） 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{\sqrt[3]{n^{2}}+1}$收敛 A 对 B 错

题目解答

答案

考虑级数的一般项 $a_n = \frac{3}{\sqrt[3]{n^2} + 1}$。当 $n$ 趋于无穷大时，$\sqrt[3]{n^2}$ 趋于无穷大，故 $\sqrt[3]{n^2} + 1 \approx \sqrt[3]{n^2}$。因此，$a_n \approx \frac{3}{\sqrt[3]{n^2}} = 3n^{-\frac{2}{3}}$。 构造级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3n^{-\frac{2}{3}}$，其为 $p$-级数，其中 $p = \frac{2}{3} < 1$，故该级数发散。由比较测试，原级数的一般项满足： \[ \frac{3}{\sqrt[3]{n^2} + 1} \geq \frac{3}{2\sqrt[3]{n^2}} = \frac{3}{2}n^{-\frac{2}{3}} \] 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2}n^{-\frac{2}{3}}$ 发散，原级数发散。 答案：$\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查正项级数的收敛性判断，特别是利用比较判别法和p-级数的性质进行判断。

解题核心思路：

  1. 比较判别法：当通项与某个已知收敛性的级数通项比较时，可推断原级数的收敛性。
  2. p-级数：形如$\sum \frac{1}{n^p}$的级数，当$p > 1$时收敛，$p \leq 1$时发散。
  3. 关键步骤：将原级数通项与$p$-级数的通项进行比较，判断其发散。

破题关键点：

  • 当$n$趋近于无穷大时，分母$\sqrt[3]{n^2} + 1$近似为$\sqrt[3]{n^2}$，即$n^{2/3}$。
  • 通过比较原级数与$\sum \frac{3}{2n^{2/3}}$（发散的$p$-级数），得出原级数发散。

步骤1：分析通项的渐进行为
当$n$很大时，$\sqrt[3]{n^2} = n^{2/3}$，因此分母$\sqrt[3]{n^2} + 1 \approx n^{2/3}$，通项近似为：
$a_n \approx \frac{3}{n^{2/3}} = 3n^{-2/3}.$

步骤2：构造比较级数
构造比较级数$\sum_{n=1}^\infty 3n^{-2/3}$，其为$p$-级数（$p = \frac{2}{3}$）。由于$p < 1$，该级数发散。

步骤3：应用比较判别法
当$n$足够大时，$\sqrt[3]{n^2} + 1 \leq 2\sqrt[3]{n^2}$，因此：
$\frac{3}{\sqrt[3]{n^2} + 1} \geq \frac{3}{2\sqrt[3]{n^2}} = \frac{3}{2}n^{-2/3}.$
由于$\sum \frac{3}{2}n^{-2/3}$发散，根据比较判别法，原级数发散。