题目

21.计算二重积分iintlimits_(D)(x+y)dxdy，其中D是由曲线y=x^2(xleq0)与直线y=x及y=1所围成的平面闭区域.

21.计算二重积分$\iint\limits_{D}(x+y)dxdy$，其中D是由曲线$y=x^{2}(x\leq0)$与直线y=x及y=1所围成的平面闭区域.

题目解答

答案

将积分区域 $D$ 表示为 $-1 \leq x \leq 0$，$x^2 \leq y \leq 1$，则
$\iint\limits_{D}(x+y)dxdy = \int_{-1}^{0} \int_{x^2}^{1} (x+y) \, dy \, dx.$
先对 $y$ 积分：
$\int_{x^2}^{1} (x+y) \, dy = x(1-x^2) + \frac{1}{2}(1-x^4) = x - x^3 + \frac{1}{2} - \frac{x^4}{2}.$
再对 $x$ 积分：
$\int_{-1}^{0} \left( x - x^3 + \frac{1}{2} - \frac{x^4}{2} \right) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \frac{x}{2} - \frac{x^5}{10} \right]_{-1}^{0} = \frac{3}{20}.$
答案： $\boxed{\frac{3}{20}}$

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的范围，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

  1. 确定积分区域 $D$ 的范围：
    • 联立曲线 $y = x^{2}(x\leq0)$ 与直线 $y = x$ 的方程$\begin{cases}y = x^{2}\\y = x\end{cases}$，将 $y = x$ 代入 $y = x^{2}$ 得 $x=x^{2}$，即 $x^{2}-x = 0$，因式分解为 $x(x - 1)=0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$，因为 $x\leq0$，所以取 $x = 0$，此时 $y = 0$。
    • 联立曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = 1$ 的方程$\begin{cases}y = x^{2}\\y = 1\end{cases}$，将 $y = 1$ 代入 $y = x^{2}$ 得 $x^{2}=1$，解得 $x=\pm1$，因为 $x\leq0$，所以取 $x=-1$。
    • 联立直线 $y = x$ 与直线 $y = 1$ 的方程$\begin{cases}y = x\\y = 1\end{cases}$，解得 $x = 1,y = 1$。
    • 由此可知积分区域 $D$ 可以表示为$-1\leq x\leq0$，$x^{2}\leq y\leq1$。
  2. 将二重积分化为累次积分：
    • 根据积分区域 $D$ 的范围，$\iint\limits_{D}(x + y)dxdy=\int_{-1}^{0}\int_{x^{2}}^{1}(x + y)dydx$。
  3. 先对 $y$ 积分：
    • 根据积分公式$\int_{a}^{b}(f(y)+g(y))dy=\int_{a}^{b}f(y)dy+\int_{a}^{b}g(y)dy$，$\int_{x^{2}}^{1}(x + y)dy=\int_{x^{2}}^{1}xdy+\int_{x^{2}}^{1}ydy$。
    • 对于$\int_{x^{2}}^{1}xdy$，因为 $x$ 与 $y$ 无关，所以$\int_{x^{2}}^{1}xdy=x\int_{x^{2}}^{1}dy=x(1 - x^{2})$。
    • 对于$\int_{x^{2}}^{1}ydy$，根据积分公式$\int ydy=\frac{1}{2}y^{2}+C$，可得$\int_{x^{2}}^{1}ydy=\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{x^{2}}^{1}=\frac{1}{2}(1 - x^{4})$。
    • 则$\int_{x^{2}}^{1}(x + y)dy=x(1 - x^{2})+\frac{1}{2}(1 - x^{4})=x - x^{3}+\frac{1}{2}-\frac{x^{4}}{2}$。
  4. 再对 $x$ 积分：
    • $\int_{-1}^{0}(x - x^{3}+\frac{1}{2}-\frac{x^{4}}{2})dx=\int_{-1}^{0}xdx-\int_{-1}^{0}x^{3}dx+\int_{-1}^{0}\frac{1}{2}dx-\int_{-1}^{0}\frac{x^{4}}{2}dx$。
    • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，$\int_{-1}^{0}xdx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；$\int_{-1}^{0}x^{3}dx=\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{0}=0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$；$\int_{-1}^{0}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\left[x\right]_{-1}^{0}=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；$\int_{-1}^{0}\frac{x^{4}}{2}dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{0}=0+\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$。
    • 所以$\int_{-1}^{0}(x - x^{3}+\frac{1}{2}-\frac{x^{4}}{2})dx=-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{-5 + 5+10 - 2}{20}=\frac{3}{20}$。