题目
6 f(x)= ) ln (1+x),xgeqslant 0 x, xlt 0 . 则f(x)在点 x=0 处()-|||-设函数-|||-3.0分)-|||-A、 连续且 '(0)=1-|||-B、 连续且 '(0)=0-|||-C、 不连续-|||-D、 连续但不可导-|||-A B C D
题目解答
答案
解析
步骤 1：检查函数在 x=0 处的连续性
为了检查函数在 x=0 处的连续性，我们需要计算函数在 x=0 处的左极限和右极限，并检查它们是否等于函数在 x=0 处的值。
- 左极限：当 x < 0 时，f(x) = x，因此 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$。
- 右极限：当 x ≥ 0 时，f(x) = ln(1+x)，因此 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln(1+0) = 0$。
- 函数在 x=0 处的值：f(0) = ln(1+0) = 0。
由于左极限、右极限和函数在 x=0 处的值都等于 0，因此函数在 x=0 处是连续的。
步骤 2：检查函数在 x=0 处的可导性
为了检查函数在 x=0 处的可导性，我们需要计算函数在 x=0 处的左导数和右导数，并检查它们是否相等。
- 左导数：当 x < 0 时，f(x) = x，因此 $f'(x) = 1$，所以 $f'(0^-) = 1$。
- 右导数：当 x ≥ 0 时，f(x) = ln(1+x)，因此 $f'(x) = \frac{1}{1+x}$，所以 $f'(0^+) = \frac{1}{1+0} = 1$。
由于左导数和右导数都等于 1，因此函数在 x=0 处是可导的，且 $f'(0) = 1$。
为了检查函数在 x=0 处的连续性，我们需要计算函数在 x=0 处的左极限和右极限，并检查它们是否等于函数在 x=0 处的值。
- 左极限：当 x < 0 时，f(x) = x，因此 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$。
- 右极限：当 x ≥ 0 时，f(x) = ln(1+x)，因此 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln(1+0) = 0$。
- 函数在 x=0 处的值：f(0) = ln(1+0) = 0。
由于左极限、右极限和函数在 x=0 处的值都等于 0，因此函数在 x=0 处是连续的。
步骤 2：检查函数在 x=0 处的可导性
为了检查函数在 x=0 处的可导性，我们需要计算函数在 x=0 处的左导数和右导数，并检查它们是否相等。
- 左导数：当 x < 0 时，f(x) = x，因此 $f'(x) = 1$，所以 $f'(0^-) = 1$。
- 右导数：当 x ≥ 0 时，f(x) = ln(1+x)，因此 $f'(x) = \frac{1}{1+x}$，所以 $f'(0^+) = \frac{1}{1+0} = 1$。
由于左导数和右导数都等于 1，因此函数在 x=0 处是可导的，且 $f'(0) = 1$。