题目
证明：点集 F 为闭集的充要条件是 overline(F) = F.
证明：点集 $F$ 为闭集的充要条件是 $\overline{F} = F$.
题目解答
答案
我们要证明的是：**点集 $ F $ 为闭集的充要条件是 $ \overline{F} = F $**。
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### 一、理解定义
在拓扑学中，我们有以下定义：
- **闭集**：一个集合 $ F $ 是闭集，如果它的补集 $ F^c $ 是开集。
- **闭包**（Closure）：集合 $ F $ 的闭包 $ \overline{F} $ 是包含 $ F $ 的最小闭集。也就是说，$ \overline{F} $ 是所有包含 $ F $ 的闭集的交集。
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### 二、证明充要条件
我们要证明：
> **点集 $ F $ 是闭集** ⇔ **$ \overline{F} = F $**
我们分两部分来证明这个充要条件。
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#### 1. 必要性：若 $ F $ 是闭集，则 $ \overline{F} = F $
**已知**：$ F $ 是闭集。
**要证**：$ \overline{F} = F $
**证明**：
- 因为 $ \overline{F} $ 是包含 $ F $ 的最小闭集；
- 而 $ F $ 本身是闭集，所以 $ \overline{F} \subseteq F $（因为 $ F $ 是一个包含 $ F $ 的闭集，而 $ \overline{F} $ 是最小的这样的闭集）；
- 又因为 $ \overline{F} $ 是包含 $ F $ 的集合，所以 $ F \subseteq \overline{F} $。
因此，我们有：
$$
F \subseteq \overline{F} \subseteq F \Rightarrow \overline{F} = F
$$
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#### 2. 充分性：若 $ \overline{F} = F $，则 $ F $ 是闭集
**已知**：$ \overline{F} = F $
**要证**：$ F $ 是闭集
**证明**：
- $ \overline{F} $ 是闭集（因为它是所有包含 $ F $ 的闭集的交集，而闭集的交集仍是闭集）；
- 所以 $ F = \overline{F} $ 也是闭集。
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### 三、结论
我们已经证明了：
- 若 $ F $ 是闭集 ⇒ $ \overline{F} = F $
- 若 $ \overline{F} = F $ ⇒ $ F $ 是闭集
因此，**点集 $ F $ 为闭集的充要条件是 $ \overline{F} = F $**。
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### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\text{点集 } F \text{ 为闭集的充要条件是 } \overline{F} = F}
$$
解析
考查要点：本题主要考查闭集与闭包的基本概念及其等价关系，需要理解闭集的定义、闭包的性质，以及如何通过充要条件的双向证明来建立两者的关系。
解题核心思路：
- 必要性：若集合 $F$ 是闭集，则其闭包 $\overline{F}$ 必须等于自身，因为闭包是包含 $F$ 的最小闭集。
- 充分性：若 $\overline{F} = F$，则 $F$ 本身必然是闭集，因为闭包本身是闭集。
破题关键点：
- 闭集的定义：集合 $F$ 是闭集当且仅当其补集是开集。
- 闭包的性质：闭包 $\overline{F}$ 是包含 $F$ 的最小闭集，且 $\overline{F}$ 本身是闭集。
必要性证明（若 $F$ 是闭集，则 $\overline{F} = F$）
步骤1：利用闭包的定义
闭包 $\overline{F}$ 是包含 $F$ 的最小闭集，因此 $\overline{F} \subseteq F$（因为 $F$ 本身是闭集且包含 $F$）。
步骤2：集合包含关系
显然 $F \subseteq \overline{F}$（闭包包含原集合）。结合 $\overline{F} \subseteq F$，可得 $\overline{F} = F$。
充分性证明（若 $\overline{F} = F$，则 $F$ 是闭集）
步骤1：闭包的闭性
闭包 $\overline{F}$ 是闭集（由闭包的定义可知）。
步骤2：等价关系
若 $\overline{F} = F$，则 $F$ 直接继承闭包的闭性，即 $F$ 是闭集。