已知 f(x) 在 x_0 的某去心邻域有定义，且 x_0 为 f(x) 的间断点，则在 x_0 处必间断的函数是 ( )A. f^2(x).B. |f(x)|.C. f(x)sin x.D. f(x)+sin x.

本题考查函数间断点的性质以及函数四则运算对间断点的影响。解题的关键思路是通过分析每个选项中函数的性质，结合已知$f(x)$在$x_0$处间断，判断新函数在$x_0$处的连续性。

选项A

设$y = f^{2}(x)$，若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A$（$A$为常数），根据极限的运算法则$\lim\limits_{x \to x_0} f^{2}(x)=\left(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\right)^{2}=A^{2}$。
例如$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq x_0\\ -1, & x\lt x_0\end{cases}$，$f(x)$在$x = x_0$处间断，但$f^{2}(x)=1$在$x = x_0$处连续，所以$f^{2}(x)$在$x_0$处不一定间断。

选项B

设$y=\vert f(x)\vert$，若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A$（$A$为常数），根据绝对值函数的连续性，$\lim\limits_{x \to x_0} \vert f(x)\vert=\vert\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\vert=\vert A\vert$。
例如$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq x_0\\ -1, & x\lt x_0\end{cases}$，$f(x)$在$x = x_0$处间断，但$\vert f(x)\vert = 1$在$x = x_0$处连续，所以$\vert f(x)\vert$在$x_0$处不一定间断。

选项C

设$y = f(x)\sin x$，因为$\sin x$在$x = x_0$处连续，且$\lim\limits_{x \to x_0} \sin x=\sin x_0$。
若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=0$，根据极限的乘法法则$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\sin x=\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\cdot\lim\limits_{x \to x_0} \sin x = 0\times\sin x_0 = 0$。
例如$f(x)=\begin{cases}1, & x\neq x_0\\ 0, & x = x_0\end{cases}$，$f(x)$在$x = x_0$处间断，但$f(x)\sin x=\begin{cases}\sin x, & x\neq x_0\\ 0, & x = x_0\end{cases}$在$x = x_0$处连续，所以$f(x)\sin x$在$x_0$处不一定间断。

选项D

采用反证法。假设$g(x)=f(x)+\sin x$在$x = x_0$处连续。
因为$\sin x$在$x = x_0$处连续，根据连续函数的性质：若$g(x)$和$h(x)$在$x = x_0$处连续，则$g(x)-h(x)$在$x = x_0$处也连续。
令$h(x)=\sin x$，那么$f(x)=g(x)-h(x)$在$x = x_0$处连续，这与已知$f(x)$在$x_0$处间断矛盾，所以$f(x)+\sin x$在$x_0$处必间断。