43.（判断题，2.0分）方程(dy)/(dx)-(4)/(x)y=x^2sqrt(y)的通解为y=x^4((x)/(2)+c)^2。A. 对B. 错

本题考查伯努利方程的求解，解题思路是先将给定的伯努利方程通过变量代换转化为一阶线性微分方程，然后求解该一阶线性微分方程，最后将代换变量还原得到原方程的通解，再与题目所给通解进行对比判断对错。

1. 判断方程类型并进行变量代换：
   给定方程$\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}y=x^{2}\sqrt{y}$，这是一个伯努利方程，其一般形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)y^n$（这里$P(x)=-\frac{4}{x}$，$Q(x)=x^{2}$，$n = \frac{1}{2}$）。
   令$z = y^{1 - n}=y^{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{y}$，则$y = z^{2}$，对$y = z^{2}$两边关于$x$求导，根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=2z\frac{dz}{dx}$。
   将$y = z^{2}$和$\frac{dy}{dx}=2z\frac{dz}{dx}$代入原方程$\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}y=x^{2}\sqrt{y}$，可得：
   $2z\frac{dz}{dx}-\frac{4}{x}z^{2}=x^{2}z$。
   因为$z=\sqrt{y}\neq0$（$y = 0$是原方程的一个特解，但不影响通解的求解），方程两边同时除以$2z$，得到一阶线性微分方程$\frac{dz}{dx}-\frac{2}{x}z=\frac{1}{2}x^{2}$。
2. 求解一阶线性微分方程：
   对于一阶线性微分方程$\frac{dz}{dx}+P_1(x)z = Q_1(x)$（这里$P_1(x)=-\frac{2}{x}$，$Q_1(x)=\frac{1}{2}x^{2}$），其通解公式为$z = e^{-\int P_1(x)dx}(\int Q_1(x)e^{\int P_1(x)dx}dx + C)$。
   先计算$e^{-\int P_1(x)dx}$：
   $\int P_1(x)dx=\int -\frac{2}{x}dx=-2\ln|x|=\ln x^{-2}$，则$e^{-\int P_1(x)dx}=e^{-\ln x^{-2}} = x^{2}$。
   再计算$e^{\int P_1(x)dx}=e^{\ln x^{-2}} = x^{-2}$。
   然后计算$\int Q_1(x)e^{\int P_1(x)dx}dx$：
   $\int Q_1(x)e^{\int P_1(x)dx}dx=\int\frac{1}{2}x^{2}\cdot x^{-2}dx=\int\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}x$。
   所以$z = x^{2}(\frac{1}{2}x + C)$。
3. 还原变量得到原方程通解：
   因为$z = \sqrt{y}$，所以$\sqrt{y}=x^{2}(\frac{1}{2}x + C)$，两边同时平方可得$y = x^{4}(\frac{x}{2}+C)^{2}$。
   这与题目所给通解一致。