27/40 多选题（4分）下列积分计算正确的是（）。A int_((0到1))^ xdx=1/2B int_((0到pi))^ sin xdx=2C int_((0到1))^ e^xdx=e-1D int_((1到e))^ 1/xdx=1E int_((0到pi/2))^ cos xdx=1
题目解答
答案
这是一道关于定积分计算的多选题，我们需要逐一计算每个选项中的定积分，判断其结果是否正确。
选项 A：$\int_{0}^{1} x \, dx = 1/2$
首先求 $x$ 的原函数：
$\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C$
计算定积分：
$\int_{0}^{1} x \, dx = \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1^2) - \frac{1}{2}(0^2) = \frac{1}{2}$
该选项计算正确。
选项 B：$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2$
首先求 $\sin x$ 的原函数：
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
计算定积分：
$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$
该选项计算正确。
选项 C：$\int_{0}^{1} e^x \, dx = e - 1$
首先求 $e^x$ 的原函数：
$\int e^x \, dx = e^x + C$
计算定积分：
$\int_{0}^{1} e^x \, dx = \left. e^x \right|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$
该选项计算正确。
选项 D：$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1$
首先求 $\frac{1}{x}$ 的原函数：
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
在区间 $[1, e]$ 上，$x > 0$，所以：
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left. \ln x \right|_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
该选项计算正确。
选项 E：$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = 1$
首先求 $\cos x$ 的原函数：
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
计算定积分：
$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin 0 = 1 - 0 = 1$
该选项计算正确。
结论
经过逐一验证，所有选项的计算结果均与题目给出的等式一致。
正确答案为：A、B、C、D、E
解析
本题考查定积分的计算，解题思路是根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx = F(b)-F(a)$，先求出被积函数的原函数，再代入积分上下限进行计算，最后判断计算结果是否与选项一致。
选项A
- 求$x$的原函数：
根据求导公式$(\frac{1}{2}x^2)^\prime = x$，可得$\int xdx=\frac{1}{2}x^2 + C$。 - 计算定积分：
$\int_{0}^{1}xdx=\left.\frac{1}{2}x^2\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}\times0^2=\frac{1}{2}$，该选项计算正确。
选项B
- 求$\sin x$的原函数：
因为$(-\cos x)^\prime=\sin x$，所以$\int\sin xdx = -\cos x + C$。 - 计算定积分：
$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=\left.(-\cos x)\right|_{0}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos0)=-(-1)-(-1)=1 + 1 = 2$，该选项计算正确。
选项C
- 求$e^x$的原函数：
由于$(e^x)^\prime = e^x$，则$\int e^xdx = e^x + C$。 - 计算定积分：
$\int_{0}^{1}e^xdx=\left.e^x\right|_{0}^{1}=e^1 - e^0 = e - 1$，该选项计算正确。
选项D
- 求$\frac{1}{x}$的原函数：
因为$(\ln|x|)^\prime=\frac{1}{x}$，所以$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$。
在区间$[1,e]$上，$x\gt0$，则$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\left.\ln x\right|_{1}^{e}=\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$，该选项计算正确。
选项E
- 求$\cos x$的原函数：
由于$(\sin x)^\prime=\cos x$，所以$\int\cos xdx = \sin x + C$。 - 计算定积分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\left.\sin x\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin0 = 1 - 0 = 1$，该选项计算正确。