题目
若A为n×m矩阵，且 R ( A ) = 3 < min ( n , m )，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中含解向量的个数为 ___.
若A为n×m矩阵，且 R ( A ) = 3 < min { n , m }，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中含解向量的个数为 ___.
题目解答
答案
因为R ( A ) = 3 < min { n , m }，那么A非满秩，有无穷多解，Ax = 0 的基础解系中含解向量的个数为其未知变量的个数减去A的秩，即m-3，所以本题正确答案为m-3。
解析
步骤 1：理解矩阵秩的含义
矩阵A的秩R(A)表示矩阵A的行空间或列空间的维度，即矩阵A的线性无关的行或列的最大数量。这里R(A) = 3，表示矩阵A的行空间或列空间的维度为3。
步骤 2：理解齐次线性方程组的解空间
齐次线性方程组Ax = 0的解空间是矩阵A的零空间，即所有满足Ax = 0的向量x的集合。解空间的维度等于未知数的个数m减去矩阵A的秩R(A)。
步骤 3：计算基础解系中解向量的个数
根据步骤2，齐次线性方程组Ax = 0的基础解系中含解向量的个数为未知数的个数m减去矩阵A的秩R(A)，即m - R(A)。由于R(A) = 3，所以基础解系中含解向量的个数为m - 3。
矩阵A的秩R(A)表示矩阵A的行空间或列空间的维度，即矩阵A的线性无关的行或列的最大数量。这里R(A) = 3，表示矩阵A的行空间或列空间的维度为3。
步骤 2：理解齐次线性方程组的解空间
齐次线性方程组Ax = 0的解空间是矩阵A的零空间，即所有满足Ax = 0的向量x的集合。解空间的维度等于未知数的个数m减去矩阵A的秩R(A)。
步骤 3：计算基础解系中解向量的个数
根据步骤2，齐次线性方程组Ax = 0的基础解系中含解向量的个数为未知数的个数m减去矩阵A的秩R(A)，即m - R(A)。由于R(A) = 3，所以基础解系中含解向量的个数为m - 3。