3. (6.7分) 行列式 }0&0&0&a_10&0&a_2&00&a_3&0&0a_4&0&0&0 其中(a_1, a_2, a_3, a_4均不等于零)的值等于( ).A. -a_1a_2a_3a_4B. a_1a_2a_3a_4C. a_1a_2a_3D. -a_1a_2a_3

本题考查行列式的计算，解题思路是根据行列式的定义或性质来求解。对于四阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}$，其值为$\sum_{j_1j_2j_3j_4}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3j_4)}a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}$，其中$\tau(j_1j_2j_3j_4)$是排列$j_1j_2j_3j_4$的逆序数，$\sum_{j_1j_2j_3j_4}$表示对所有$4$级排列$j_1j_2j_3j_4$求和。

在行列式$\begin{vmatrix}0&0&0&a_1\\0&0&a_2&0\\0&a_3&0&0\\a_4&0&0&0\end{vmatrix}$中，只有当$j_1 = 4$，$j_2 = 3$，$j_3 = 2$，$j_4 = 1$时，$a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}=a_1a_2a_3a_4\neq0$，其余项都为$0$。

接下来求排列$4321$的逆序数$\tau(4321)$：

• 从$4$开始，$4$后面比$4$小的数有$3$个（$3$、$2$、$1$）；
• $3$后面比$3$小的数有$2$个（$2$、$1$）；
• $2$后面比$2$小的数有$1$个（$1$）；
• $1$后面没有比$1$小的数。

所以$\tau(4321)=3 + 2 + 1=6$。

根据行列式定义可得：
$\begin{vmatrix}0&0&0&a_1\\0&0&a_2&0\\0&a_3&0&0\\a_4&0&0&0\end{vmatrix}=(-1)^{\tau(4321)}a_1a_2a_3a_4=(-1)^6a_1a_2a_3a_4=a_1a_2a_3a_4$