题目

二、选择题（每小题4分，共20分） 1.D：x²+y²≤2x，则二重积分iintlimits_(D)f(x²+y²)dx dy在极坐标下的二次积分为（） A.）intlimits_(-(pi)/(2))^(pi)/(2)dthetaintlimits_(0)^2acosthetaf(rho²)rho drhoB.）intlimits_(0)^(pi)/(2)dthetaintlimits_(0)^2acosthetaf(rho²)rho drho C.）intlimits_(0)^(pi)/(2)dthetaintlimits_(0)^2acosthetaf(rho²)rho drhoD.）以上结果都不对

二、选择题（每小题4分，共20分） 1.D：x²+y²≤2x，则二重积分$\iint\limits_{D}f(x²+y²)dx dy$在极坐标下的二次积分为（）
A.）$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int\limits_{0}^{2acos\theta}f(\rho²)\rho d\rho$
B.）$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int\limits_{0}^{2acos\theta}f(\rho²)\rho d\rho$
C.）$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int\limits_{0}^{2acos\theta}f(\rho²)\rho d\rho$
D.）以上结果都不对

题目解答

答案

将区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$ 转化为极坐标，得 $\rho \leq 2\cos\theta$，其中 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。被积函数 $f(x^2 + y^2)$ 在极坐标下为 $f(\rho^2)$，面积元素 $dx\,dy$ 转化为 $\rho\,d\rho\,d\theta$。因此，二重积分在极坐标下为： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} f(\rho^2) \rho \, d\rho \] 选项 A 与上述结果一致。 **答案：** $\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标下的转换方法，包括区域的极坐标表示、被积函数的转换以及面积元素的替换。

解题核心思路：

区域转换：将直角坐标系下的不等式 $x^2 + y^2 \leq 2x$ 转换为极坐标形式，确定 $\rho$ 和 $\theta$ 的范围。
被积函数转换：将 $x^2 + y^2$ 替换为 $\rho^2$。
面积元素替换：将 $dx\,dy$ 替换为 $\rho\,d\rho\,d\theta$。
积分顺序与选项匹配：根据极坐标下积分的常规顺序（先 $\rho$ 后 $\theta$），结合选项形式判断正确答案。

破题关键点：

区域转换：通过代数变形确定 $\rho \leq 2\cos\theta$，并分析 $\theta$ 的有效范围为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
积分限与选项匹配：注意选项中 $\theta$ 的范围是否完整覆盖区域 $D$。

区域转换

原区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$，代入极坐标公式 $x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$，得：
$\rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \implies \rho \leq 2\cos\theta.$
当 $\cos\theta \geq 0$ 时，$\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，此时 $\rho \geq 0$ 有效。

被积函数与面积元素

被积函数 $f(x^2 + y^2)$ 转换为 $f(\rho^2)$。
面积元素 $dx\,dy$ 转换为 $\rho\,d\rho\,d\theta$。

积分表达式

综合上述转换，二重积分在极坐标下表示为：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} f(\rho^2) \rho \, d\rho \, d\theta.$
对比选项，选项 A 的积分限和顺序完全匹配。