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数学
题目

函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图形关于直线( )对称.A. y=-xB. y=xC. y=0D. x=0

函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图形关于直线( )对称.

A. y=-x

B. y=x

C. y=0

D. x=0

题目解答

答案

B. y=x

解析

考查要点:本题主要考查函数与其反函数的图像对称性关系,属于函数性质的基础知识。

解题核心思路:
互为反函数的两个函数图像关于直线$y=x$对称。这一结论来源于反函数的定义:若点$(a,b)$在原函数图像上,则点$(b,a)$必在其反函数图像上,而这两点关于直线$y=x$对称。

破题关键点:

  1. 明确反函数的定义,理解坐标点的互换性。
  2. 掌握对称直线的几何意义,即交换$x$和$y$坐标后,点的位置落在对称线上。

反函数的对称性原理:

  1. 定义回顾:若函数$y=f(x)$在点$(a,b)$处满足$f(a)=b$,则其反函数$y=f^{-1}(x)$在点$(b,a)$处满足$f^{-1}(b)=a$。
  2. 几何意义:点$(a,b)$与点$(b,a)$关于直线$y=x$对称。
  3. 结论推导:所有这样的点对$(a,b)$与$(b,a)$构成的图像必然关于$y=x$对称。

选项排除法:

  • 选项A($y=-x$):若对称于$y=-x$,则点$(a,b)$的对称点应为$(-b,-a)$,与反函数的定义不符。
  • 选项C($y=0$):若对称于$x$轴,则点$(a,b)$的对称点为$(a,-b)$,与反函数的定义矛盾。
  • 选项D($x=0$):若对称于$y$轴,则点$(a,b)$的对称点为$(-a,b)$,同样不符合反函数的性质。
  • 选项B($y=x$):唯一满足点$(a,b)$与$(b,a)$对称关系的直线,符合反函数的定义。

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