函数 f(z) = x^2 - y - x + i(2xy - y^2) 在点 z = (1)/(2) 处（ ）A. 既不连续也不可导B. 解析C. 可导但不解析D. 连续但不可导

本题考查复变函数的连续性与可导性以及解析性的判断。解题思路是先判断函数在给定的点处是否连续，再判断是否可导，最后根据可导与解析的关系判断是否解析。

1. 判断函数在点 $z = \frac{1}{2}$ 处的连续性

已知函数 $f(z) = x^2 - y - x + i(2xy - y^2)$，当 $z=\frac{1}{2}$ 时，$x = \frac{1}{2}$，$y = 0$。
将 $x = \frac{1}{2}$，$y = 0$ 代入函数 $f(z)$ 可得：
$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2 - 0 - \frac{1}{2}+i(2\times\frac{1}{2}\times0 - 0^2)$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+i(0 - 0)$
$=-\frac{1}{4}$

对于复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中 $u(x,y)=x^2 - y - x$，$v(x,y)=2xy - y^2$。
因为 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都是二元多项式函数，二元多项式函数在整个复平面上都是连续的，所以 $f(z)$ 在点 $z = \frac{1}{2}$ 处连续。

2. 判断函数在点 $z = \frac{1}{2}$ 处的可导性

根据柯西 - 黎曼方程判断可导性，柯西 - 黎曼方程为 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

• 先求偏导数：
  • 对 $u(x,y)=x^2 - y - x$ 求关于 $x$ 的偏导数：
    $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y - x)=2x - 1$
  • 对 $u(x,y)=x^2 - y - x$ 求关于 $y$ 的偏导数：
    $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y - x)=-1$
  • 对 $v(x,y)=2xy - y^2$ 求关于 $x$ 的偏导数：
    $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy - y^2)=2y$
  • 对 $v(x,y)=2xy - y^2$ 求关于 $y$ 的偏导数：
    $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy - y^2)=2x - 2y$
• 再将 $x = \frac{1}{2}$，$y = 0$ 代入偏导数：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}=2\times\frac{1}{2}-1=0$
  • $\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}=-1$
  • $\frac{\partial v}{\partial x}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}=2\times0 = 0$
  • $\frac{\partial v}{\partial y}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}=2\times\frac{1}{2}-2\times0 = 1$

此时 $\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}=0\neq1=\frac{\partial v}{\partial y}\big|_{x = \frac{1}{2},y = 0}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以函数 $f(z)$ 在点 $z = \frac{1}{2}$ 处不可导。

3. 判断函数在点 $z = \frac{1}{2}$ 处的解析性

由于函数在某点解析的前提是在该点可导，而函数 $f(z)$ 在点 $z = \frac{1}{2}$ 处不可导，所以函数 $f(z)$ 在点 $z = \frac{1}{2}$ 处不解析。

综上，函数 $f(z)$ 在点 $z = \frac{1}{2}$ 处连续但不可导。