题目
19.(4.0分) 已知2为方阵A的一个特征值,则 3AAA—2E的一个特征值为( )第1空——
19.(4.0分) 已知2为方阵A的一个特征值,则 3AAA—2E的一个特征值为( )
第1空
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题目解答
答案
为了确定 $3A^3 - 2E$ 的一个特征值，已知2是方阵 $A$ 的一个特征值，我们可以按照以下步骤进行：
1. **理解特征值的性质：**
如果 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么对于任何多项式 $p(x)$，$p(\lambda)$ 是 $p(A)$ 的一个特征值。在这个问题中，多项式 $p(x)$ 是 $3x^3 - 2$。
2. **将特征值代入多项式：**
既然2是 $A$ 的一个特征值，我们将 $\lambda = 2$ 代入多项式 $3x^3 - 2$：
\[
p(2) = 3 \cdot 2^3 - 2 = 3 \cdot 8 - 2 = 24 - 2 = 22.
\]
3. **结论：**
因此，$3A^3 - 2E$ 的一个特征值是 $22$。
答案是 $\boxed{22}$。
解析
本题考查方阵特征值的性质。解题思路是利用若$\lambda$是方阵$A$的特征值，那么对于多项式$p(x)$，$p(\lambda)$就是$p(A)$的特征值这一性质来求解。
- 首先明确已知条件，已知方阵$A$的一个特征值$\lambda = 2$，要求的是$3A^{3}-2E$的一个特征值，这里可以把$3A^{3}-2E$看作是关于方阵$A$的多项式$p(A)$，其中多项式$p(x)=3x^{3}-2$。
- 然后根据特征值的性质，将$\lambda = 2$代入多项式$p(x)$中进行计算：
- 计算$p(2)$，根据多项式$p(x)=3x^{3}-2$，把$x = 2$代入可得$p(2)=3\times2^{3}-2$。
- 先计算指数部分$2^{3}=2\times2\times2 = 8$。
- 再计算乘法$3\times8 = 24$。
- 最后计算减法$24 - 2=22$。