函数 =dfrac ({(x-3))^2}(4(x-1)) 的单调增区间是 __ 单调减区间是 __ 极值是-|||-__ 凹区间是 __ 凸区间是 __

步骤 1：求导数
首先，我们需要对函数 $y=\dfrac {{(x-3)}^{2}}{4(x-1)}$ 求导，以确定其单调性和凹凸性。
$y'=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {{(x-3)}^{2}}{4(x-1)}\right)$
$=\dfrac {2(x-3)(x-1)-{(x-3)}^{2}}{4{(x-1)}^{2}}$
$=\dfrac {(x-3)(2x-2-x+3)}{4{(x-1)}^{2}}$
$=\dfrac {(x-3)(x+1)}{4{(x-1)}^{2}}$
步骤 2：确定单调区间
令 $y'=0$，解得 $x=-1$ 和 $x=3$。由于 $y'$ 在 $x=1$ 处无定义，因此我们需要考虑 $x=1$ 的情况。
- 当 $x<-1$ 时，$y'>0$，函数单调递增。
- 当 $-1- 当 $1- 当 $x>3$ 时，$y'>0$，函数单调递增。
步骤 3：确定极值
根据步骤 2 的分析，$x=-1$ 和 $x=3$ 是函数的极值点。
- 当 $x=-1$ 时，$y=\dfrac {{(-1-3)}^{2}}{4(-1-1)}=-2$，为极大值。
- 当 $x=3$ 时，$y=\dfrac {{(3-3)}^{2}}{4(3-1)}=0$，为极小值。
步骤 4：求二阶导数
$y''=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {(x-3)(x+1)}{4{(x-1)}^{2}}\right)$
$=\dfrac {2(x-1)^{2}-(x-3)(x+1)2(x-1)}{4{(x-1)}^{4}}$
$=\dfrac {2(x-1)-2(x-3)(x+1)}{4{(x-1)}^{3}}$
$=\dfrac {2(x-1)-2(x^{2}-2x-3)}{4{(x-1)}^{3}}$
$=\dfrac {2(x-1)-2x^{2}+4x+6}{4{(x-1)}^{3}}$
$=\dfrac {-2x^{2}+6x+4}{4{(x-1)}^{3}}$
步骤 5：确定凹凸区间
令 $y''=0$，解得 $x=1$。由于 $y''$ 在 $x=1$ 处无定义，因此我们需要考虑 $x=1$ 的情况。
- 当 $x<1$ 时，$y''<0$，函数为凸区间。
- 当 $x>1$ 时，$y''>0$，函数为凹区间。