设X1,X2,X3,X4独立同分布，服从分布X1,X2,X3,X4 ，记X1,X2,X3,X4，则 X1,X2,X3,X4的密度函数X1,X2,X3,X4

考查要点：本题主要考查独立随机变量最大值的分布，涉及概率密度函数与分布函数的关系，以及均匀分布的性质。

解题核心思路：

1. 分布函数法：先求出最大值的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到密度函数$f_Y(y)$。
2. 独立事件概率：利用独立同分布的性质，将最大值小于$y$的概率转化为每个变量均小于$y$的概率乘积。
3. 均匀分布特性：代入均匀分布$U(1,3)$的分布函数和密度函数进行计算。

破题关键点：

• 公式推导：明确最大值分布函数的表达式$F_Y(y) = [F_X(y)]^n$，并正确求导得到$f_Y(y) = n \cdot [F_X(y)]^{n-1} \cdot f_X(y)$。
• 参数代入：正确代入均匀分布的分布函数$F_X(y) = \frac{y-1}{2}$和密度函数$f_X(y) = \frac{1}{2}$，注意定义域$1 < y < 3$。

步骤1：求最大值的分布函数

对于独立同分布的随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$，其最大值$Y = \max\{X_1, X_2, X_3, X_4\}$的分布函数为：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq y, X_2 \leq y, X_3 \leq y, X_4 \leq y).$
由于独立性，概率可分解为：
$F_Y(y) = [P(X_1 \leq y)]^4 = [F_X(y)]^4.$

步骤2：求密度函数

对分布函数求导得密度函数：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = 4 \cdot [F_X(y)]^{3} \cdot f_X(y).$

步骤3：代入均匀分布的参数

均匀分布$U(1,3)$的分布函数为：
$F_X(y) = \begin{cases}0, & y \leq 1, \\\frac{y-1}{2}, & 1 < y < 3, \\1, & y \geq 3,\end{cases}$
密度函数为：
$f_X(y) = \begin{cases}\frac{1}{2}, & 1 < y < 3, \\0, & \text{其它}.\end{cases}$
代入公式得：
$f_Y(y) = 4 \cdot \left( \frac{y-1}{2} \right)^3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{(y-1)^3}{4}, \quad 1 < y < 3.$

步骤4：确定定义域

当$y \leq 1$或$y \geq 3$时，$f_Y(y) = 0$。