题目
已知曲线 y=f(x) 在点(0,1)处的切线与曲线 =ln x 相切,则 lim _(xarrow 0)dfrac (f(sin x)-1)(x+sin x)=-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线 $y=\ln x$ 的切线方程
曲线 $y=\ln x$ 在某点 $(a, \ln a)$ 处的切线斜率为 $y'=\frac{1}{x}$，在点 $(a, \ln a)$ 处的斜率为 $\frac{1}{a}$。因此，切线方程为 $y-\ln a=\frac{1}{a}(x-a)$，即 $y=\frac{1}{a}x+\ln a-1$。
步骤 2：确定曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线方程
曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线方程为 $y-1=f'(0)x$，即 $y=f'(0)x+1$。
步骤 3：确定切线方程的斜率
由于曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，因此它们的切线方程相同。所以，$f'(0)=\frac{1}{a}$，且 $\ln a-1=1$，解得 $a=e^2$，从而 $f'(0)=\frac{1}{e^2}$。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin x)-1}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(0)\sin x}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{e^2}\sin x}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{e^2}x}{2x}=\dfrac {1}{2e^2}$。
曲线 $y=\ln x$ 在某点 $(a, \ln a)$ 处的切线斜率为 $y'=\frac{1}{x}$，在点 $(a, \ln a)$ 处的斜率为 $\frac{1}{a}$。因此，切线方程为 $y-\ln a=\frac{1}{a}(x-a)$，即 $y=\frac{1}{a}x+\ln a-1$。
步骤 2：确定曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线方程
曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线方程为 $y-1=f'(0)x$，即 $y=f'(0)x+1$。
步骤 3：确定切线方程的斜率
由于曲线 $y=f(x)$ 在点 (0,1) 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，因此它们的切线方程相同。所以，$f'(0)=\frac{1}{a}$，且 $\ln a-1=1$，解得 $a=e^2$，从而 $f'(0)=\frac{1}{e^2}$。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(\sin x)-1}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(0)\sin x}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{e^2}\sin x}{x+\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{e^2}x}{2x}=\dfrac {1}{2e^2}$。