题目
完型填空（共5题，30.0分）34.（6.0分）计算三重积分iiintlimits_(E)zdv，其中E是位于圆柱面x^2+y^2leq4内部，上下界为z=0和z=4-x²-y²之间的立体。解：由柱坐标变换公式：x=r cosθ，___.x^2+y^2=r^2，dv=rdzdrdθ可得积分区域为：0≤r≤2，___，0≤z≤4-r²，iiint...int_(2pi)int_(0)^2int_(4-r^2)^r^(2)第1小题 第2小题 第3小题 第4小题A y=rB y=r sinθC y=r tanθ
完型填空（共5题，30.0分）
34.（6.0分）计算三重积分$\iiint\limits_{E}zdv$，其中E是位于圆柱面$x^{2}+y^{2}\leq4$内部，上下界为z=0和z=4-x²-y²之间的立体。
解：由柱坐标变换公式：x=r cosθ，___.
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，dv=rdzdrdθ
可得积分区域为：0≤r≤2，___
，0≤z≤4-r²，
$\iiint\cdots\int_{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{4-r^{2}}^{r^{2}}$
第1小题 第2小题 第3小题 第4小题
A y=r
B y=r sinθ
C y=r tanθ
题目解答
答案
1. **坐标变换**：
柱坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$，体积元素 $dv = r \, dz \, dr \, d\theta$。
**答案**：B
2. **角度范围**：
圆柱全范围，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
**答案**：$0 \leq \theta \leq 2\pi$
3. **半径范围**：
圆柱半径为 $2$，$r$ 从 $0$ 到 $2$。
**答案**：$0 \leq r \leq 2$
4. **高度范围**：
$z$ 从 $0$ 到 $4 - r^2$。
**答案**：$0 \leq z \leq 4 - r^2$
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & B \\
2. & 0 \leq \theta \leq 2\pi \\
3. & 0 \leq r \leq 2 \\
4. & 0 \leq z \leq 4 - r^2 \\
\end{array}
}
\]
解析
本题主要考查利用柱坐标变换计算三重积分，解题的关键在于掌握柱坐标变换公式以及根据给定的立体区域确定积分限。
- 柱坐标变换公式：
- 在柱坐标系中，坐标变换公式为$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素$dv=rdzdrd\theta$。所以当已知$x = r\cos\theta$时，对应的$y$的表达式为$y = r\sin\theta$。
- 确定积分区域：
- 角度$\theta$的范围：
- 因为积分区域是位于圆柱面$x^{2}+y^{2}\leq4$内部的整个圆柱，在极坐标（柱坐标的$x - y$平面部分）中，绕$z$轴旋转一周，所以$\theta$的取值范围是从$0$到$2\pi$，即$0\leq\theta\leq2\pi$。
- 半径$r$的范围：
- 已知圆柱面方程为$x^{2}+y^{2}=r^{2}\leq4$，解不等式$r^{2}\leq4$，可得$- 2\leq r\leq2$。又因为半径$r\geq0$，所以$r$的取值范围是$0\leq r\leq2$。
- 高度$z$的范围：
- 已知立体的上下界为$z = 0$和$z=4 - x^{2}-y^{2}$，将$x^{2}+y^{2}=r^{2}$代入$z$的上界表达式，得到$z = 4 - r^{2}$，所以$z$的取值范围是$0\leq z\leq4 - r^{2}$。
- 角度$\theta$的范围：