题目
48、若随机变量的分布列为P(X=k)=c((2)/(3))^k,(k=1,2,dots)，则c=_. (写成小数形式)
48、若随机变量的分布列为
$P(X=k)=c(\frac{2}{3})^{k},(k=1,2,\dots)$
，则$c=_. $
(写成小数形式)
题目解答
答案
为了确定常数 $ c $ 的值，我们需要利用所有概率的和等于1的事实。随机变量 $ X $ 的概率分布由下式给出：
\[ P(X = k) = c \left( \frac{2}{3} \right)^k \quad \text{对于} \quad k = 1, 2, 3, \ldots \]
所有概率的和可以表示为：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} c \left( \frac{2}{3} \right)^k \]
这个级数是一个几何级数，首项 $ a = c \left( \frac{2}{3} \right) $，公比 $ r = \frac{2}{3} $。无限几何级数 $ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k $ 的和由 $ \frac{a}{1-r} $ 给出，但我们的级数从 $ k=1 $ 开始，所以我们需要调整公式：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} c \left( \frac{2}{3} \right)^k = c \left( \frac{2}{3} \right) \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot 3 = 2c \]
由于所有概率的和必须等于1，我们有：
\[ 2c = 1 \]
解 $ c $，我们得到：
\[ c = \frac{1}{2} = 0.5 \]
因此，$ c $ 的值是：
\[ \boxed{0.5} \]
解析
本题考查离散型随机变量分布列的性质以及无穷等比数列求和公式的应用。解题的关键在于利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质，将给定的概率分布列转化为无穷等比数列求和问题，进而求解常数$c$。
- 首先明确离散型随机变量分布列的性质：对于离散型随机变量$X$，其所有可能取值的概率之和为$1$，即$\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)=1$。已知$P(X = k)=c(\frac{2}{3})^{k},(k = 1,2,\cdots)$，所以$\sum_{k = 1}^{\infty}c(\frac{2}{3})^{k}=1$。
- 然后分析$\sum_{k = 1}^{\infty}c(\frac{2}{3})^{k}$：
- 可将其变形为$c\sum_{k = 1}^{\infty}(\frac{2}{3})^{k}$，$\sum_{k = 1}^{\infty}(\frac{2}{3})^{k}$是首项$a_1=\frac{2}{3}$，公比$q = \frac{2}{3}$的无穷等比数列的和。
- 根据无穷等比数列求和公式$S=\frac{a_1}{1 - q}$（$\vert q\vert\lt1$），这里$a_1=\frac{2}{3}$，$q=\frac{2}{3}$，则$\sum_{k = 1}^{\infty}(\frac{2}{3})^{k}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}$。
- 计算$\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}$：
- 先计算分母$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，则$\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}$。
- 根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\times3 = 2$。
- 最后求解$c$：
- 因为$c\sum_{k = 1}^{\infty}(\frac{2}{3})^{k}=1$，且$\sum_{k = 1}^{\infty}(\frac{2}{3})^{k}=2$，所以$2c = 1$。
- 两边同时除以$2$，可得$c=\frac{1}{2}=0.5$。