题目
全微分方程 (1+e^x/y)dx+e^x/y(1-(x)/(y))dy=0 的通解为() A. x-ye^x/y=CB. x+ye^x/y=CC. -x+ye^x/y=CD. -x-ye^x/y=C
全微分方程
$(1+e^{x/y})dx+e^{x/y}\left(1-\frac{x}{y}\right)dy=0$
的通解为()
- A. $x-ye^{x/y}=C$
- B. $x+ye^{x/y}=C$
- C. $-x+ye^{x/y}=C$
- D. $-x-ye^{x/y}=C$
题目解答
答案
将方程改写为 $\frac{dx}{dy}$ 的形式：
\[
(1+e^{\frac{x}{y}})\frac{dx}{dy} = -e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)
\]
令 $p = \frac{x}{y}$，则 $x = py$，$\frac{dx}{dy} = p + y\frac{dp}{dy}$。代入得：
\[
p + y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p(1-p)}{1+e^p}
\]
整理并分离变量：
\[
y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p + p}{1+e^p} \quad \Rightarrow \quad \frac{1+e^p}{e^p + p}dp = -\frac{1}{y}dy
\]
两边积分：
\[
\ln|e^p + p| = -\ln|y| + C_1 \quad \Rightarrow \quad y(e^p + p) = C
\]
代回 $p = \frac{x}{y}$：
\[
y\left(e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y}\right) = C \quad \Rightarrow \quad x + ye^{\frac{x}{y}} = C
\]
**答案：B**
解析
步骤 1：将方程改写为 $\frac{dx}{dy}$ 的形式
原方程为 $(1+e^{x/y})dx+e^{x/y}\left(1-\frac{x}{y}\right)dy=0$，可以改写为：
\[ (1+e^{x/y})\frac{dx}{dy} = -e^{x/y}\left(1-\frac{x}{y}\right) \]
步骤 2：引入变量 $p = \frac{x}{y}$，并代入方程
令 $p = \frac{x}{y}$，则 $x = py$，$\frac{dx}{dy} = p + y\frac{dp}{dy}$。代入得：
\[ p + y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p(1-p)}{1+e^p} \]
步骤 3：整理并分离变量
整理上式，得到：
\[ y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p + p}{1+e^p} \]
分离变量，得到：
\[ \frac{1+e^p}{e^p + p}dp = -\frac{1}{y}dy \]
步骤 4：两边积分
对两边积分，得到：
\[ \ln|e^p + p| = -\ln|y| + C_1 \]
整理得到：
\[ y(e^p + p) = C \]
步骤 5：代回 $p = \frac{x}{y}$，得到通解
代回 $p = \frac{x}{y}$，得到：
\[ y\left(e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y}\right) = C \]
整理得到：
\[ x + ye^{\frac{x}{y}} = C \]
原方程为 $(1+e^{x/y})dx+e^{x/y}\left(1-\frac{x}{y}\right)dy=0$，可以改写为：
\[ (1+e^{x/y})\frac{dx}{dy} = -e^{x/y}\left(1-\frac{x}{y}\right) \]
步骤 2：引入变量 $p = \frac{x}{y}$，并代入方程
令 $p = \frac{x}{y}$，则 $x = py$，$\frac{dx}{dy} = p + y\frac{dp}{dy}$。代入得：
\[ p + y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p(1-p)}{1+e^p} \]
步骤 3：整理并分离变量
整理上式，得到：
\[ y\frac{dp}{dy} = -\frac{e^p + p}{1+e^p} \]
分离变量，得到：
\[ \frac{1+e^p}{e^p + p}dp = -\frac{1}{y}dy \]
步骤 4：两边积分
对两边积分，得到：
\[ \ln|e^p + p| = -\ln|y| + C_1 \]
整理得到：
\[ y(e^p + p) = C \]
步骤 5：代回 $p = \frac{x}{y}$，得到通解
代回 $p = \frac{x}{y}$，得到：
\[ y\left(e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y}\right) = C \]
整理得到：
\[ x + ye^{\frac{x}{y}} = C \]