lim _(xarrow +infty )dfrac (sin x)(sqrt {x)}=0

考查要点：本题主要考查有界函数与无穷大量相除的极限性质，以及夹逼定理的应用。

解题核心思路：

1. 分子分析：$\sin x$ 是有界函数，其值始终在 $[-1, 1]$ 之间。
2. 分母分析：$\sqrt{x}$ 当 $x \to +\infty$ 时趋向于 $+\infty$。
3. 整体趋势：有界量除以无穷大量，结果应趋向于 $0$。
4. 关键定理：通过夹逼定理严格证明极限值。

步骤1：分析分子和分母的性质

• 分子：$\sin x$ 的绝对值满足 $|\sin x| \leq 1$，即 $\sin x$ 是有界函数。
• 分母：当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{x} \to +\infty$。

步骤2：构造不等式

根据分子的有界性，可得：
$\left| \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}}.$

步骤3：应用夹逼定理

当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$。因此：
$0 \leq \left| \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0.$
根据夹逼定理，原式绝对值的极限为 $0$，故原式极限也为 $0$。