函数的间断点通常有____、____、____型间断点A. 跳跃B. 可去C. 有限D. 无穷

本题考查函数间断点的类型这一知识点。解题思路是明确函数间断点的分类标准，根据函数在间断点处极限的不同情况来确定间断点的类型。

函数间断点是指函数在某点处不连续的点。根据函数在间断点处极限的情况，间断点可分为以下几种类型：

1. 可去间断点：设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在，但$f(x)$在$x_0$处无定义，或者$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的可去间断点。例如函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$，在$x = 1$处无定义，但$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1} (x + 1)=2$，所以$x = 1$是可去间断点。
2. 跳跃间断点：设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$和$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$都存在，但$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$，则称$x_0$为$f(x)$的跳跃间断点。例如函数$f(x)=\begin{cases}x + 1, & x \lt 0 \\ 0, & x = 0 \\ x - 1, & x \gt 0\end{cases}$，$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (x + 1)=1$，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} (x - 1)= -1$，左右极限不相等，所以$x = 0$是跳跃间断点。
3. 无穷间断点：设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=\infty$（包括$+\infty$和$-\infty$），则称$x_0$为$f(x)$的无穷间断点。例如函数$f(x)=\frac{1}{x}$，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}=\infty$，所以$x = 0$是无穷间断点。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，无穷间断点属于第二类间断点。而“有限”并不是间断点的类型。