题目

8、交换积分次序并计算int_(0)^2dxint_(x)^2e^-y^(2)dy=_____.

8、交换积分次序并计算$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy=$_____.

题目解答

答案

原积分式为：
$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$
交换积分次序，积分区域 $D$ 可描述为：
$D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 2, 0 \leq x \leq y\}$
交换次序后积分式变为：
$\int_{0}^{2}dy\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx$
先对 $x$ 积分得：
$\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx = ye^{-y^{2}}$
再对 $y$ 积分，使用代换 $u = -y^2$（或 $u = y^2$），得：
$\int_{0}^{2}ye^{-y^{2}}dy = \frac{1}{2}(1 - e^{-4})$
答案：
$\boxed{\frac{1}{2}(1 - e^{-4})}$

解析

本题考查二重积分交换积分次序及计算，解题思路如下：

  1. 首先根据已知的积分限确定积分区域 $D$。已知原积分$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$，对于内层积分$\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$，积分变量 $y$ 的下限是 $x$，上限是 $2$；对于外层积分$\int_{0}^{2}dx$，积分变量 $x$ 的下限是 $0$，上限是 $2$。所以积分区域 $D$ 由直线 $y = x$，$y = 2$ 和 $x = 0$ 所围成，可描述为$D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 2,x\leqslant y\leqslant 2\}$。
  2. 然后交换积分次序。要交换积分次序，需要重新确定积分限。从 $y$ 的角度看，$y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $2$；对于固定的 $y$，$x$ 的取值范围是从 $0$ 到 $y$，所以交换积分次序后积分区域 $D$ 可描述为$D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 2, 0 \leq x \leq y\}$，此时积分式变为$\int_{0}^{2}dy\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx$。
  3. 接着先对 $x$ 积分。因为被积函数$e^{-y^{2}}$与 $x$ 无关，所以$\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx=e^{-y^{2}}\int_{0}^{y}dx$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}dx=b - a$，可得$e^{-y^{2}}\int_{0}^{y}dx=e^{-y^{2}}\cdot(y - 0)=ye^{-y^{2}}$。
  4. 最后对 $y$ 积分。计算$\int_{0}^{2}ye^{-y^{2}}dy$，使用换元法，令$u=-y^{2}$，则$du=-2ydy$，$ydy=-\frac{1}{2}du$。当$y = 0$ 时，$u = 0$；当$y = 2$ 时，$u=-4$。所以$\int_{0}^{2}ye^{-y^{2}}dy=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-4}e^{u}du=\frac{1}{2}\int_{-4}^{0}e^{u}du$。根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}e^{u}du=e^{u}\big|_{a}^{b}=e^{b}-e^{a}$，可得$\frac{1}{2}\int_{-4}^{0}e^{u}du=\frac{1}{2}(e^{0}-e^{-4})=\frac{1}{2}(1 - e^{-4})$。