题目

2.判断向量组alpha_(1)=(1,2,-1,3)^T, alpha_(2)=(2,1,0,-1)^T, alpha_(3)=(3,3,-1,2)^T是否线性相关.

2.判断向量组$\alpha_{1}=(1,2,-1,3)^{T},\quad\alpha_{2}=(2,1,0,-1)^{T},\quad\alpha_{3}=(3,3,-1,2)^{T}$是否线性相关.

题目解答

答案

将向量组构成矩阵 $A$：
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \\-1 & 0 & -1 \\3 & -1 & 2\end{bmatrix}$

对 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形：
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -3 & -3 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

矩阵的秩为 2，小于向量个数 3，故向量组线性相关。

答案：
$\boxed{\text{线性相关}}$

解析

本题考查向量组线性相关性的判断，解题思路是通过将向量组构成矩阵，对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，根据矩阵的秩与向量个数的关系来判断向量组的线性相关性。若矩阵的秩小于向量个数，则向量组线性相关；若矩阵的秩等于向量个数，则向量组线性无关。

  1. 首先，将向量组$\alpha_{1}=(1,2,-1,3)^{T},\quad\alpha_{2}=(2,1,0,-1)^{T},\quad\alpha_{3}=(3,3,-1,2)^{T}$构成矩阵$A$：
    • 矩阵$A$的列向量依次为$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$，即$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \\-1 & 0 & -1 \\3 & -1 & 2\end{bmatrix}$。
  2. 然后，对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形矩阵：
    • 第二行减去第一行的$2$倍，第三行加上第一行，第四行减去第一行的$3$倍，得到：
      • $r_{2}-2r_{1}$，$r_{3}+r_{1}$，$r_{4}-3r_{1}$，则$A\sim\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 - 2\times1 & 1 - 2\times2 & 3 - 2\times3 \\-1 + 1 & 0 + 2 & -1 + 3 \\3 - 3\times1 & -1 - 3\times2 & 2 - 3\times3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -3 & -3 \\0 & 2 & 2 \\0 & -7 & -7\end{bmatrix}$。
    • 第三行加上第二行的$\frac{2}{3}$倍，第四行减去第二行的$\frac{7}{3}$倍，得到：
      • $r_{3}+\frac{2}{3}r_{2}$，$r_{4}-\frac{7}{3}r_{2}$，则$A\sim\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -3 & -3 \\0 + \frac{2}{3}\times0 & 2+\frac{2}{3}\times(-3) & 2+\frac{2}{3}\times(-3) \\0-\frac{7}{3}\times0 & -7-\frac{7}{3}\times(-3) & -7-\frac{7}{3}\times(-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -3 & -3 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
  3. 最后，根据行阶梯形矩阵确定矩阵的秩：
    • 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，此矩阵有$2$个非零行，所以$r(A)=2$。
    • 向量组中向量的个数为$3$，由于$r(A)=2\lt3$，根据向量组线性相关性的判定定理，可知向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性相关。