15 lim_(x to +infty) ln(1+2^x) ln(1+(2)/(x))=____.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及对数函数在变量趋近于无穷大时的近似处理。

解题核心思路：

1. 拆分处理：将乘积拆分为两个对数函数分别分析，再结合各自的极限形式简化计算。
2. 近似展开：利用当$x \to +\infty$时，$2^x$远大于1的性质，简化$\ln(1+2^x)$；利用当$y \to 0$时，$\ln(1+y) \approx y$的泰勒展开近似，简化$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$。

破题关键点：

• 识别主导项：在$\ln(1+2^x)$中，$2^x$是主导项，可忽略常数1。
• 小量近似：将$\frac{2}{x}$视为小量，直接用一次项近似$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$。

步骤1：分析$\ln(1+2^x)$的极限形式
当$x \to +\infty$时，$2^x$远大于1，因此：
$\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2.$

步骤2：分析$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$的极限形式
当$x \to +\infty$时，$\frac{2}{x} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+y) \approx y$（$y$为小量）：
$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}.$

步骤3：计算乘积的极限
将两部分的近似结果相乘：
$\ln(1+2^x) \cdot \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2.$

结论：
最终极限值为$2 \ln 2$，等价于$\ln 4$。