题目
根据二重积分的几何意义， iint_(D) sqrt(a^2 - x^2 - y^2) , dx , dy = ( ) 其中 D: x^2 + y^2 leq a^2, y geq 0, a geq 0。 A. (1)/(3) pi a^3B. (2)/(3) pi a^2C. (1)/(3) pi a^2D. pi a
根据二重积分的几何意义，
$\iint_{D} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dx \, dy = (\quad)$
其中 $D: x^2 + y^2 \leq a^2, y \geq 0, a \geq 0$。
- A. $\frac{1}{3} \pi a^3$
- B. $\frac{2}{3} \pi a^2$
- C. $\frac{1}{3} \pi a^2$
- D. $\pi a$
题目解答
答案
将二重积分转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \pi$。
被积函数变为 $\sqrt{a^2 - r^2}$，积分式为：
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r \, dr \, d\theta
\]
令 $u = a^2 - r^2$，则 $du = -2r\,dr$，积分变为：
\[
\int_{0}^{\pi} \left[ -\frac{1}{2} \int_{a^2}^{0} \sqrt{u} \, du \right] d\theta = \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{1}{3} a^3 \right] d\theta = \frac{\pi a^3}{3}
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将二重积分转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \pi$。 被积函数变为 $\sqrt{a^2 - r^2}$，积分式为： \[ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：进行变量替换
令 $u = a^2 - r^2$，则 $du = -2r\,dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{\pi} \left[ -\frac{1}{2} \int_{a^2}^{0} \sqrt{u} \, du \right] d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{1}{3} a^3 \right] d\theta = \frac{\pi a^3}{3} \]
将二重积分转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \pi$。 被积函数变为 $\sqrt{a^2 - r^2}$，积分式为： \[ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：进行变量替换
令 $u = a^2 - r^2$，则 $du = -2r\,dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{\pi} \left[ -\frac{1}{2} \int_{a^2}^{0} \sqrt{u} \, du \right] d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{1}{3} a^3 \right] d\theta = \frac{\pi a^3}{3} \]