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数学
题目

行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。A. √B. ×

行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。

A. √

B. ×

题目解答

答案

B. ×

解析

考查要点:本题主要考查行列式为零的条件,以及矩阵行(列)之间的线性相关关系的理解。

核心思路:行列式为零的充要条件是矩阵的行(列)向量线性相关。但题目中的结论仅考虑了两种特殊情况(某行全零或两行成比例),而线性相关的情况远不止这两种,例如多行之间存在线性组合关系。因此,原命题的表述不全面,结论错误。

破题关键:通过构造反例(存在行列式为零但既无全零行也无成比例行的情况),直接否定原命题的绝对性。

原命题:若行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。

分析:

  1. 行列式为零的本质:矩阵的行(列)向量线性相关。
  2. 原命题的局限性:仅考虑了两种线性相关的情形(某行全零或两行成比例),但线性相关还包括更复杂的情况,例如多行之间存在线性组合关系。
  3. 反例说明:构造一个行列式为零但不符合原命题条件的矩阵,例如:
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$
    • 第三行是第一行与第二行之和,行列式为零。
    • 但无行全零,且任意两行不成比例。

结论:原命题错误,正确答案为 B。

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