若 L [f(t)] = (1)/(s(s+1))，则 lim_(t to 0) f(t) = 【 】？A. 0B. 1C. 2D. 无穷大

本题考查拉普拉斯变换的初值定理。解题思路是先明确初值定理的内容，再根据已知的拉普拉斯变换式判断是否满足初值定理的条件，若满足则利用初值定理计算$\lim_{t \to 0} f(t)$的值。

初值定理：若函数$f(t)$及其一阶导数$f^\prime(t)$的拉普拉斯变换都存在，且$\lim_{s \to \infty} sF(s)$存在，则$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$，其中$F(s)=L [f(t)]$。

已知$L [f(t)] = F(s)=\frac{1}{s(s + 1)}$，下面计算$\lim_{s \to \infty} sF(s)$：

• 步骤一：将$sF(s)$表示出来
  将$F(s)=\frac{1}{s(s + 1)}$代入$sF(s)$可得：
  $sF(s)=s\times\frac{1}{s(s + 1)}=\frac{1}{s + 1}$
• 步骤二：计算$\lim_{s \to \infty} sF(s)$
  对$\lim_{s \to \infty} \frac{1}{s + 1}$进行计算，当$s\to\infty$时，$s + 1\to\infty$，那么$\frac{1}{s + 1}\to 0$，即$\lim_{s \to \infty} sF(s)=\lim_{s \to \infty} \frac{1}{s + 1}=0$。

根据初值定理可知$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)=0$。