已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sinB．（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高．

考查要点：本题主要考查三角形内角和定理、三角恒等变换、正弦定理及三角形面积公式的应用。

解题思路：

1. 利用角度关系求角C：通过已知条件$A+B=3C$和三角形内角和为$\pi$，直接求出角$C$的值。
2. 三角恒等变换求$\sin A$：将条件$2\sin(A-C)=\sin B$转化为关于$A$的方程，结合$C$的值，通过三角恒等式化简，最终利用同角三角函数关系求解$\sin A$。
3. 正弦定理求边长，面积法求高：通过正弦定理求出其他边长，利用面积相等关系建立方程求解高。

破题关键：

• 角度关系的转化：将$B$用$\pi - A - C$表示，简化方程。
• 三角恒等式的灵活应用：通过展开和整理方程，将问题转化为关于$\tan A$的方程。
• 面积公式的双重应用：通过两种方式表达三角形面积，建立方程求解高。

第（1）题

求角$C$

由$A+B=3C$和$A+B+C=\pi$，得：
$4C = \pi \implies C = \frac{\pi}{4}$

化简方程$2\sin(A-C)=\sin B$

将$B = \pi - A - C$代入，得：
$2\sin(A-C) = \sin(A+C)$
展开两边：
$2\left(\sin A \cos C - \cos A \sin C\right) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$
整理得：
$\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C$

求$\sin A$

代入$C = \frac{\pi}{4}$，$\cos C = \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$\sin A = 3 \cos A \implies \tan A = 3$
利用$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，解得：
$\sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

第（2）题

求边$AC$和$BC$

由正弦定理：
$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 5\sqrt{2}$
计算$\sin B$：
$\sin B = \sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
得：
$AC = 2\sqrt{10}, \quad BC = 3\sqrt{5}$

求高$h$

利用面积相等：
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C$
代入数据解得：
$$
h = 6

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