题目

3.已知 +3y=6(xgt 0,ygt 0), 则xy的最大值是_ dfrac (3)(2)

题目解答

答案

答案见上

解析

考查要点：本题主要考查利用基本不等式（均值不等式）或二次函数求最值的方法，解决在约束条件下求代数式最大值的问题。

解题核心思路：

  1. 代数法：将方程中的一个变量用另一个变量表示，代入目标式转化为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值。
  2. 不等式法：通过变形方程，构造符合基本不等式（AM-GM）的形式，直接求出积的最大值。

破题关键点：

  • 变量分离：将方程中的变量分离，转化为单变量函数。
  • 基本不等式的应用条件：需确保变形后的项满足“和为定值”且均为正数。

方法一：代数法（二次函数顶点法）

  1. 变量分离：
    由方程 $2x + 3y = 6$，解得 $y = \dfrac{6 - 2x}{3}$（注意 $x > 0$，故 $6 - 2x > 0 \Rightarrow x < 3$）。

  2. 构造目标式：
    将 $y$ 代入 $xy$ 中，得：
    $xy = x \cdot \dfrac{6 - 2x}{3} = \dfrac{6x - 2x^2}{3} = -\dfrac{2}{3}x^2 + 2x$

  3. 求二次函数最大值：
    该二次函数开口向下，最大值在顶点处取得。顶点横坐标为：
    $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)} = \dfrac{3}{2}$
    代入 $y = \dfrac{6 - 2x}{3}$，得 $y = 1$。此时：
    $xy = \dfrac{3}{2} \cdot 1 = \dfrac{3}{2}$

方法二：基本不等式法（AM-GM）

  1. 变形方程：
    设 $a = 2x$，$b = 3y$，则原方程变为 $a + b = 6$（其中 $a > 0$，$b > 0$）。

  2. 应用AM-GM不等式：
    根据算术-几何均值不等式：
    $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \Rightarrow \quad 3 \geq \sqrt{ab}$
    平方得 $ab \leq 9$，当且仅当 $a = b = 3$ 时取等号。

  3. 回代求 $xy$：
    当 $a = 3$ 时，$2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$；
    当 $b = 3$ 时，$3y = 3 \Rightarrow y = 1$。
    此时：
    $xy = \dfrac{3}{2} \cdot 1 = \dfrac{3}{2}$