题目
oint_(Gamma) dx - dy + ydz = ( )，其中 Gamma 为有向闭折线 ABCA，这里 A、B、C 依次为点 (1,0,0)，(0,1,0) 和 (0,0,1)。 A (1)/(2) B (3)/(2) C 1 D 2
$\oint_{\Gamma} dx - dy + ydz = (\quad)$，其中 $\Gamma$ 为有向闭折线 $ABCA$，这里 $A$、$B$、$C$ 依次为点 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。
A $\frac{1}{2}$
B $\frac{3}{2}$
C $1$
D $2$
题目解答
答案
将闭合路径 $\Gamma$ 分为三段：$AB$、$BC$、$CA$，分别参数化并计算积分。
1. **路径 $AB$：**
$x = 1 - t$，$y = t$，$z = 0$，$t$ 从 0 到 1。
积分：$\int_0^1 (-2) \, dt = -2$。
2. **路径 $BC$：**
$x = 0$，$y = 1 - t$，$z = t$，$t$ 从 0 到 1。
积分：$\int_0^1 (2 - t) \, dt = \frac{3}{2}$。
3. **路径 $CA$：**
$x = t$，$y = 0$，$z = 1 - t$，$t$ 从 0 到 1。
积分：$\int_0^1 1 \, dt = 1$。
总积分：$-2 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}$。
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：参数化路径 $AB$
- 从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(0,1,0)$，可以参数化为 $x = 1 - t$，$y = t$，$z = 0$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 (-2) \, dt = -2$。
步骤 2：参数化路径 $BC$
- 从点 $B(0,1,0)$ 到点 $C(0,0,1)$，可以参数化为 $x = 0$，$y = 1 - t$，$z = t$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 (2 - t) \, dt = \frac{3}{2}$。
步骤 3：参数化路径 $CA$
- 从点 $C(0,0,1)$ 到点 $A(1,0,0)$，可以参数化为 $x = t$，$y = 0$，$z = 1 - t$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 1 \, dt = 1$。
步骤 4：计算总积分
- 总积分：$-2 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}$。
- 从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(0,1,0)$，可以参数化为 $x = 1 - t$，$y = t$，$z = 0$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 (-2) \, dt = -2$。
步骤 2：参数化路径 $BC$
- 从点 $B(0,1,0)$ 到点 $C(0,0,1)$，可以参数化为 $x = 0$，$y = 1 - t$，$z = t$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 (2 - t) \, dt = \frac{3}{2}$。
步骤 3：参数化路径 $CA$
- 从点 $C(0,0,1)$ 到点 $A(1,0,0)$，可以参数化为 $x = t$，$y = 0$，$z = 1 - t$，其中 $t$ 从 0 到 1。
- 计算积分 $\int_0^1 1 \, dt = 1$。
步骤 4：计算总积分
- 总积分：$-2 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}$。