题目

设曲线f(x) = x^n在(1,1)处的切线与x轴的交点为(xi_n, 0)，则lim_(n to infty) f(xi_n) = ( )

设曲线$f(x) = x^n$在$(1,1)$处的切线与$x$轴的交点为$(\xi_n, 0)$，则$\lim_{n \to \infty} f(\xi_n) = (\quad)$

题目解答

答案

设曲线 $ f(x) = x^n $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线方程为 $ y = n(x-1) + 1 $。
与 $ x $-轴交点 $ (\xi_n, 0) $ 满足 $ 0 = n(\xi_n - 1) + 1 $，解得 $ \xi_n = 1 - \frac{1}{n} $。
求 $ f(\xi_n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n $ 的极限，当 $ n \to \infty $ 时，
$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{e}}$

解析

本题主要考查导数的几何意义以及重要极限的计算。解题的关键思路是先根据导数求出曲线在指定点处的切线方程，再通过切线方程求出与$x$轴交点的横坐标$\xi_n$，最后计算$\lim_{n \to \infty} f(\xi_n)$。

  1. 求曲线$f(x)=x^n$在点$(1,1)$处的切线方程：
    • 首先，对$f(x)=x^n$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$f^\prime(x)=nx^{n - 1}$。
    • 然后，将$x = 1$代入到导数$f^\prime(x)$中，得到曲线在点$(1,1)$处的切线斜率$k=f^\prime(1)=n\times1^{n - 1}=n$。
    • 最后，根据点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为已知点，$k$为斜率），可得切线方程为$y - 1 = n(x - 1)$，整理得$y = n(x - 1) + 1$。
  2. 求切线与$x$轴交点的横坐标$\xi_n$：
    因为切线与$x$轴交点为$(\xi_n, 0)$，将$y = 0$代入到切线方程$y = n(x - 1) + 1$中，得到$0 = n(\xi_n - 1) + 1$。
    • 展开方程可得$0 = n\xi_n - n + 1$。
    • 移项可得$n\xi_n = n - 1$。
    • 解得$\xi_n = 1 - \frac{1}{n}$。
  3. 计算$\lim_{n \to \infty} f(\xi_n)$：
    已知$f(x)=x^n$，$\xi_n = 1 - \frac{1}{n}$，则$f(\xi_n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$。
    根据重要极限$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$，对于$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$，这里$a=-1$，所以$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}=\frac{1}{e}$。