微分方程 y'' - 2y' = x e^2x 的特解 y' 形式为____.A. x e^2xB. (ax^2 + bx + c) e^2xC. (ax + b) e^2xD. x (ax + b) e^2x

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程特解的形式。

对于二阶常系数非齐次线性微分方程$y'' + py' + qy = P_m(x)e^{\lambda x}$（其中$p,q$为常数，$P_m(x)$是$x$的$m$次多项式），其特解$y^*$的形式与$\lambda$是否为特征方程的根有关，具体规则如下：

• 若$\lambda$不是特征方程$r^2 + pr + q = 0$的根，则$y^* = Q_m(x)e^{\lambda x}$，其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式。
• 若$\lambda$是特征方程$r^2 + pr + q = 0$的单根，则$y^* = xQ_m(x)e^{\lambda x}$。
• 若$\lambda$是特征方程$r^2 + pr + q = 0$的二重根，则$y^* = x^2Q_m(x)e^{\lambda x}$。

下面我们按照上述步骤来求解给定微分方程$y'' - 2y' = x e^{2x}$的特解形式：

1. 求特征方程的根：
   对于给定的微分方程$y'' - 2y' = x e^{2x}$，其对应的齐次方程为$y'' - 2y' = 0$，特征方程为$r^2 - 2r = 0$。
   提取公因式$r$可得$r(r - 2) = 0$，则$r_1 = 0$，$r_2 = 2$。
2. 确定$\lambda$和$P_m(x)$：
   在非齐次项$x e^{2x}$中，$\lambda = 2$，$P_m(x)=x$，$P_m(x)$是一次多项式，即$m = 1$。
3. 判断$\lambda$是否为特征方程的根：
   由步骤1可知，$\lambda = 2$是特征方程$r^2 - 2r = 0$的单根。
4. 确定特解形式：
   根据上述规则，当$\lambda$是特征方程的单根时，特解$y^*$的形式为$xQ_m(x)e^{\lambda x}$，其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，即$Q_m(x)=ax + b$（$a,b$为待定系数）。
   所以特解$y^*$的形式为$x(ax + b)e^{2x}$。