3.若球的表面积扩大为原来的4倍，则球的体积扩大为原来的( )倍.A. 2B. 4C. 6D. 8

本题考查球的表面积和体积公式的应用，解题思路是先根据球表面积的变化求出半径的变化，再根据半径的变化求出体积的变化。

1. 设原来球的半径为$r$，根据球的表面积公式$S = 4\pi r^{2}$，则原来球的表面积$S_1 = 4\pi r^{2}$。
2. 已知球的表面积扩大为原来的$4$倍，则变化后球的表面积$S_2 = 4S_1 = 4\times4\pi r^{2}=16\pi r^{2}$。
   • 设变化后球的半径为$R$，由球的表面积公式可得$S_2 = 4\pi R^{2}$，即$4\pi R^{2}=16\pi r^{2}$。
   • 两边同时除以$4\pi$，得到$R^{2}=4r^{2}$，开方可得$R = 2r$（半径为正数，舍去$R=-2r$）。
3. 根据球的体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，原来球的体积$V_1=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，变化后球的体积$V_2=\frac{4}{3}\pi R^{3}$。
   • 把$R = 2r$代入$V_2$，可得$V_2=\frac{4}{3}\pi(2r)^{3}$。
   • 根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，则$(2r)^{3}=2^3\times r^3 = 8r^{3}$，所以$V_2=\frac{4}{3}\pi\times8r^{3}=8\times\frac{4}{3}\pi r^{3}$。
   • 因为$V_1=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，所以$\frac{V_2}{V_1}=\frac{8\times\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}} = 8$，即球的体积扩大为原来的$8$倍。