求函数 y = x^4(12ln x - 7) 的凹凸区间及拐点。

我们要求函数 $ y = x^4(12\ln x - 7) $ 的凹凸区间和拐点。这是一个关于函数图像凹凸性的问题，需要用到导数分析。

第一步：确定定义域

函数中有 $ \ln x $，所以定义域为：

$x > 0$

第二步：求一阶导数 $ y' $

函数是乘积形式，使用乘积法则：

$y = x^4(12\ln x - 7)$

设：

• $ u = x^4 $
• $ v = 12\ln x - 7 $

则：

$y' = u'v + uv'$

计算：

• $ u' = 4x^3 $
• $ v' = \frac{12}{x} $

代入：

$y' = 4x^3(12\ln x - 7) + x^4 \cdot \frac{12}{x} = 4x^3(12\ln x - 7) + 12x^3 = 4x^3(12\ln x - 7 + 3) = 4x^3(12\ln x - 4)$

所以一阶导数为：

$y' = 4x^3(12\ln x - 4)$

第三步：求二阶导数 $ y'' $

我们对 $ y' = 4x^3(12\ln x - 4) $ 再次求导。

设：

• $ u = 4x^3 $
• $ v = 12\ln x - 4 $

则：

$y'' = u'v + uv'$

计算：

• $ u' = 12x^2 $
• $ v' = \frac{12}{x} $

代入：

$y'' = 12x^2(12\ln x - 4) + 4x^3 \cdot \frac{12}{x} = 12x^2(12\ln x - 4) + 48x^2 = 12x^2(12\ln x - 4 + 4) = 12x^2(12\ln x)$

所以二阶导数为：

$y'' = 144x^2 \ln x$

第四步：分析凹凸性

我们分析 $ y'' = 144x^2 \ln x $ 的符号。

注意：

• $ x^2 > 0 $ 对于所有 $ x > 0 $
• 所以 $ y'' $ 的符号取决于 $ \ln x $

分析 $ \ln x $ 的符号：

• 当 $ x > 1 $ 时，$ \ln x > 0 \Rightarrow y'' > 0 $：函数下凸（开口向上）
• 当 $ 0 < x < 1 $ 时，$ \ln x < 0 \Rightarrow y'' < 0 $：函数上凸（开口向下）
• 当 $ x = 1 $ 时，$ \ln x = 0 \Rightarrow y'' = 0 $：可能是拐点

第五步：判断拐点

拐点是函数凹凸性改变的点，即 $ y'' $ 在该点变号。

我们已经知道：

• $ y'' = 144x^2 \ln x $
• 在 $ x = 1 $ 处，$ y'' = 0 $
• 且在 $ x = 1 $ 附近，$ y'' $ 从负变正（因为 $ \ln x $ 从负变正）

所以：

• $ x = 1 $ 是拐点

第六步：总结结果

• 上凸区间（开口向下）：$ (0, 1) $
• 下凸区间（开口向上）：$ (1, +\infty) $
• 拐点：当 $ x = 1 $ 时，代入原函数：

$y = 1^4(12\ln 1 - 7) = 1(0 - 7) = -7$

所以拐点为：$ (1, -7) $

✅ 最终答案：

• 上凸区间：$ (0, 1) $
• 下凸区间：$ (1, +\infty) $
• 拐点：$ \boxed{(1, -7)} $