曲线 C 为正向圆周 |z|=2，oint_(C) (bar(z))/(z^2) , dz=A. -2pi iB. 2pi iC. 4pi iD. 0

本题考查复变函数沿闭合曲线的积分计算，可通过多种方法来求解，下面分别介绍两种常见方法。

方法一：利用参数方程法

本题中曲线$C$为正向圆周$\vert z\vert = 2$，其参数方程可设为$z = 2e^{i\theta}$，$\theta$从$0$到$2\pi$。

• 步骤一：求$dz$和$\bar{z}$
  对$z = 2e^{i\theta}$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$可得：
  $dz = 2ie^{i\theta}d\theta$
  又因为$\bar{z}$是$z$的共轭复数，所以$\bar{z} = 2e^{-i\theta}$。
• 步骤二：将$z$、$\bar{z}$和$dz$代入积分式
  将$z = 2e^{i\theta}$，$\bar{z} = 2e^{-i\theta}$，$dz = 2ie^{i\theta}d\theta$代入$\oint_{C} \frac{\bar{z}}{z^2} \, dz$可得：
  $\begin{align*} \oint_{C} \frac{\bar{z}}{z^2} \, dz&=\int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{-i\theta}}{(2e^{i\theta})^2} \cdot 2ie^{i\theta}d\theta\\ &=\int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{-i\theta}}{4e^{2i\theta}} \cdot 2ie^{i\theta}d\theta\\ &=\int_{0}^{2\pi} \frac{4i}{4}e^{-2i\theta}d\theta\\ &=i\int_{0}^{2\pi} e^{-2i\theta}d\theta \end{align*}$
• 步骤三：计算定积分
  根据积分公式$\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$（$a\neq 0$），对$i\int_{0}^{2\pi} e^{-2i\theta}d\theta$进行计算：
  $\begin{align*} i\int_{0}^{2\pi} e^{-2i\theta}d\theta&=i\cdot\left[-\frac{1}{2i}e^{-2i\theta}\right]_{0}^{2\pi}\\ &=-\frac{1}{2}\left[e^{-2i\theta}\right]_{0}^{2\pi}\\ &=-\frac{1}{2}(e^{-4\pi i} - e^{0}) \end{align*}$
  因为$e^{-4\pi i} = \cos(-4\pi) + i\sin(-4\pi) = 1$，$e^{0} = 1$，所以：
  $-\frac{1}{2}(e^{-4\pi i} - e^{0}) = -\frac{1}{2}(1 - 1) = 0$

方法二：利用柯西 - 古萨基本定理

柯西 - 古萨基本定理指出：如果函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析，$C$为$D$内的任意一条简单闭曲线，则$\oint_{C} f(z) \, dz = 0$。

• 步骤一：分析被积函数的奇点
  对于被积函数$f(z) = \frac{\bar{z}}{z^2}$，分母为$z^2$，当$z = 0$时，分母为$0$，所以$z = 0$是函数$f(z)$的奇点。
• 步骤二：判断奇点是否在积分曲线所围区域内
  积分曲线$C$为正向圆周$\vert z\vert = 2$，其圆心在原点，半径为$2$，奇点$z = 0$在曲线$C$所围的区域内。
• 步骤三：将被积函数变形并利用留数定理
  留数定理指出：$\oint_{C} f(z) \, dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^{n} \text{Res}[f(z), z_k]$，其中$z_k$是$f(z)$在$C$所围区域内的孤立奇点，$\text{Res}[f(z), z_k]$是$f(z)$在$z_k$处的留数。
  将$f(z) = \frac{\bar{z}}{z^2}$变形为$f(z) = \frac{x - iy}{(x + iy)^2}$（其中$z = x + iy$），然后求$f(z)$在$z = 0$处的留数。
  因为$f(z)$在$z = 0$处的洛朗级数展开式中$\frac{1}{z}$的系数为$0$，即$\text{Res}[f(z), 0] = 0$。
  根据留数定理可得：
  $\oint_{C} \frac{\bar{z}}{z^2} \, dz = 2\pi i\cdot\text{Res}[f(z), 0] = 2\pi i\cdot 0 = 0$