3.设 y=y(x) 由 y=sin2t确定,则□/= __ .-|||-4.(1)设 y=f(x) 在 x=a 处连续,证明: y=|f(x)| 在 x=a 处也连续,反之不对.-|||-(2)设 y=f(x) 在 x=a 处可导,且 (a)=0, 研究 y=|f(x)| 在 x=a 处的可导性.

考查要点：
本题主要考查绝对值函数的连续性与可导性，涉及函数连续与可导的定义及性质。

1. 第（1）题：利用连续函数的绝对值仍连续，但反之不一定成立。需通过极限定义证明正向结论，并构造反例说明反向不成立。
2. 第（2）题：当原函数在某点可导且函数值为0时，绝对值函数的可导性需分情况讨论，关键在于判断左右导数是否存在且相等。

解题核心思路：

• 连续性：通过极限与绝对值性质推导；
• 可导性：通过左右导数的极限表达式分析，注意函数值变号对绝对值的影响。

第（1）题

证明正向结论：

1. 已知条件：$f(x)$在$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$。
2. 绝对值函数的性质：$\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = |\lim\limits_{x \to a} f(x)| = |f(a)|$。
3. 结论：$\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = |f(a)|$，即$|f(x)|$在$x=a$处连续。

反例说明：
取$f(x)$在$x=a$处不连续，但$|f(x)|$连续。例如：
$f(x) = \begin{cases}1, & x \neq a, \\-1, & x = a.\end{cases}$
此时$f(x)$在$x=a$处不连续，但$|f(x)|=1$恒连续。

第（2）题

分析可导性：

1. 已知条件：$f(a)=0$且$f(x)$在$x=a$处可导，即$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$存在。
2. 绝对值函数的导数：
   • 当$h \to 0^+$时，若$f(a+h) \geq 0$，则$|f(a+h)| = f(a+h)$，右导数为$f'(a)$；
   • 当$h \to 0^-$时，若$f(a+h) \leq 0$，则$|f(a+h)| = -f(a+h)$，左导数为$-f'(a)$。
3. 关键结论：
   • 若$f(x)$在$x=a$附近不变号，则$|f(x)|$在$x=a$处可导，导数为$|f'(a)|$；
   • 若$f(x)$在$x=a$附近变号，则左右导数不相等，$|f(x)|$不可导。