用正交变换法 x = Py，将二次型 [ f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 + 5x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_3 ] 化为标准形为________.A. -y_1^2 + 3y_2^2 + 5y_3^2B. y_1^2 - 3y_2^2 + 5y_3^2C. -y_1^2 + y_2^2 - 5y_3^2D. y_1^2 + y_2^2 + y_3^2

本题考查二次型通过正交变换化为标准形的知识点，解题思路是先写出二次型的矩阵，然后求出该矩阵的特征值，最后根据特征值得到二次型的标准形。

步骤一：写出二次型的矩阵$A$

对于二次型$f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 + 5x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_3$，其矩阵$A$为：
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

步骤二：求矩阵$A$的特征值

根据特征方程$\vert\lambda E - A\vert = 0$，其中$E$为单位矩阵，可得：
\(\begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda - 5 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 0\)
按第二行展开可得\((\lambda - 5)\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 0\)
计算二阶行列式\(\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 1 \end{vmatrix}= (\lambda - 1)^2 - (-2)\times(-2) = \lambda^2 - 2\lambda + 1 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3\)
则原方程变为$(\lambda - 5)(\lambda^2 - 2\lambda - 3) = 0$
因式分解$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1)$
所以$(\lambda - 5)(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$
解得特征值$\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 3$，$\lambda_3 = 5$

步骤三：根据特征值得到二次型的标准形

根据正交变换的性质，二次型通过正交变换化为标准形时，标准形的系数就是矩阵$A$的特征值。
所以二次型$f(x_1, x_2, x_3)$化为标准形为$-y_1^2 + 3y_2^2 + 5y_3^2$