求y = ln tan (x)/(2)的微分.

本题考查复合函数求导以及微分的计算。解题思路是先根据复合函数求导法则求出函数$y = \ln \tan \frac{x}{2}$的导数$\frac{dy}{dx}$，再根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$求出函数的微分。

步骤一：求$\frac{dy}{dx}$

设$u = \tan\frac{x}{2}$，则$y = \ln u$。
根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，先分别求$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$。

• 对$y = \ln u$关于$u$求导，根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = \tan\frac{x}{2}$关于$x$求导，设$t=\frac{x}{2}$，则$u = \tan t$。
  再根据复合函数求导法则$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$，分别求$\frac{du}{dt}$和$\frac{dt}{dx}$。
  • 对$u = \tan t$关于$t$求导，根据正切函数求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^2 x$，可得$\frac{du}{dt}=\sec^2 t$。
  • 对$t=\frac{x}{2}$关于$x$求导，根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}$。
    所以$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\sec^2 t\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$。
    将$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$和$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$代入$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，并将$u = \tan\frac{x}{2}$代回，可得：
    $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$

步骤二：化简$\frac{dy}{dx}$

根据三角函数的平方关系$\sec^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$和商数关系$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，对$\frac{dy}{dx}$进行化简：
$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}\\&=\frac{1}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\\&=\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\end{align*}$
再根据二倍角公式$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，可得$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$，则：
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}=\csc x$

步骤三：求$dy$

根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$，将$\frac{dy}{dx}=\csc x$代入可得：
$dy = \csc xdx$