题目
(3)曲线 ) 与圆柱面 ^2+{y)^2=4 的交点为 () .-|||-(A) (sqrt (2),sqrt (2),pm 2) (B) (sqrt (2),sqrt (2),2)-|||-(C) (sqrt (2),sqrt (2),-2) (D) (sqrt (2),sqrt (2),pm 1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线与圆柱面的交点
曲线的参数方程为 $x=2\cos \varphi$，$y=2\cos \varphi$，$z=2\sqrt {2}\sin \varphi$。圆柱面的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$。将曲线的参数方程代入圆柱面的方程中，得到 $(2\cos \varphi)^{2}+(2\cos \varphi)^{2}=4$，即 $4\cos^{2}\varphi+4\cos^{2}\varphi=4$，化简得 $8\cos^{2}\varphi=4$，从而 $\cos^{2}\varphi=\frac{1}{2}$，因此 $\cos \varphi=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
步骤 2：计算交点的坐标
当 $\cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$x=2\cos \varphi=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$y=2\cos \varphi=\sqrt{2}$，$z=2\sqrt{2}\sin \varphi=2\sqrt{2}\cdot\pm\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm2$。因此，交点为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pm2)$。
步骤 3：验证交点
当 $\cos \varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$x=2\cos \varphi=-\sqrt{2}$，$y=2\cos \varphi=-\sqrt{2}$，$z=2\sqrt{2}\sin \varphi=2\sqrt{2}\cdot\pm\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm2$。但是，由于 $|\varphi|\leqslant \frac{\pi}{2}$，$\cos \varphi$ 的值只能是正的，因此交点为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pm2)$。
曲线的参数方程为 $x=2\cos \varphi$，$y=2\cos \varphi$，$z=2\sqrt {2}\sin \varphi$。圆柱面的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$。将曲线的参数方程代入圆柱面的方程中，得到 $(2\cos \varphi)^{2}+(2\cos \varphi)^{2}=4$，即 $4\cos^{2}\varphi+4\cos^{2}\varphi=4$，化简得 $8\cos^{2}\varphi=4$，从而 $\cos^{2}\varphi=\frac{1}{2}$，因此 $\cos \varphi=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
步骤 2：计算交点的坐标
当 $\cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$x=2\cos \varphi=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$y=2\cos \varphi=\sqrt{2}$，$z=2\sqrt{2}\sin \varphi=2\sqrt{2}\cdot\pm\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm2$。因此，交点为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pm2)$。
步骤 3：验证交点
当 $\cos \varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$x=2\cos \varphi=-\sqrt{2}$，$y=2\cos \varphi=-\sqrt{2}$，$z=2\sqrt{2}\sin \varphi=2\sqrt{2}\cdot\pm\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm2$。但是，由于 $|\varphi|\leqslant \frac{\pi}{2}$，$\cos \varphi$ 的值只能是正的，因此交点为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pm2)$。