题目

(7)计算I=int_(L)(x dy-y dx)/(x^2)+y^(2)，其中L是从点A(1,1)沿直线到点B(-1,0)，再沿曲线y=x^2-1到点C(1,0).

(7)计算$I=\int_{L}\frac{x dy-y dx}{x^{2}+y^{2}}$，其中L是从点A(1,1)沿直线到点B(-1,0)，再沿曲线$y=x^{2}-1$到点C(1,0).

题目解答

答案

将路径 $L$ 补全为闭合曲线，添加小圆 $l$（半径 $\delta$，顺时针）和线段 $CA$（从 $C(1,0)$ 到 $A(1,1)$）。

  1. 小圆 $l$ 积分：
    $\int_l \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2} = -2\pi \quad \text{(顺时针方向)}$
  2. 线段 $CA$ 积分：
    $\int_{CA} \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2} = \int_0^1 \frac{dy}{1 + y^2} = \frac{\pi}{4}$
  3. 总积分：
    $\int_L = -\int_l - \int_{CA} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

答案：$\boxed{\frac{7\pi}{4}}$

解析

本题考查曲线积分的计算，由于被积函数在原点处不连续，不能直接使用格林公式，因此采用补线法将路径补成闭合曲线，再利用格林公式进行计算。

  1. 补全路径：
    • 设添加的小圆为 $l$，半径为 $\delta$，方向为顺时针。
    • 设线段 $CA$ 是从 $C(1,0)$ 到 $A(1,1)$。
    • 此时 $L + l + CA$ 构成一个顺时针方向的闭合曲线。
  2. 计算小圆 $l$ 上的积分：
    • 对于小圆 $l$，其参数方程可设为 $x = \delta\cos t$，$y = \delta\sin t$，$t$ 从 $2\pi$ 到 $0$（因为是顺时针方向）。
    • 则 $dx = -\delta\sin tdt$，$dy = \delta\cos tdt$。
    • 代入被积函数 $\frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}$ 可得：
      $\begin{align*}&\frac{\delta\cos t\cdot\delta\cos t - \delta\sin t\cdot(-\delta\sin t)}{\delta^2\cos^2 t + \delta^2\sin^2 t}dt\\=&\frac{\delta^2(\cos^2 t + \sin^2 t)}{\delta^2(\cos^2 t + \sin^2 t)}dt\\=&dt\end{align*}$
    • 所以 $\int_l \frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2} = \int_{2\pi}^0 dt = -2\pi$。
  3. 计算线段 $CA$ 上的积分：
    • 在线段 $CA$ 上，$x = 1$，$dx = 0$，$y$ 从 $0$ 到 $1$。
    • 代入被积函数 $\frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}$ 可得：
      $\int_{CA} \frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2} = \int_0^1 \frac{1\cdot dy}{1 + y^2}$
    • 根据积分公式 $\int \frac{1}{1 + y^2}dy = \arctan y + C$，可得：
      $\int_0^1 \frac{dy}{1 + y^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$
  4. 利用格林公式计算总积分：
    • 设 $P = \frac{-y}{x^2 + y^2}$，$Q = \frac{x}{x^2 + y^2}$，计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
      $\begin{align*}\frac{\partial Q}{\partial x} &= \frac{(x^2 + y^2) - x\cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}\\\frac{\partial P}{\partial y} &= \frac{-(x^2 + y^2) + y\cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}\end{align*}$
    • 则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
    • 根据格林公式 $\oint_{L + l + CA} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$（$D$ 为 $L + l + CA$ 所围成的区域），可得 $\oint_{L + l + CA} \frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2} = 0$。
    • 即 $\int_L + \int_l + \int_{CA} = 0$，所以 $\int_L = -\int_l - \int_{CA}$。
    • 把 $\int_l = -2\pi$，$\int_{CA} = \frac{\pi}{4}$ 代入可得：
      $\int_L = -(-2\pi) - \frac{\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$