题目
[题目]已知 (x+dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^2}({x)^4+1}, 求f(x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
由于 $x+\dfrac{1}{x}$ 的定义域为 $x\neq 0$，因此我们需要考虑 $x$ 的取值范围。根据均值不等式，$x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2$ 或 $x+\dfrac{1}{x}\leqslant -2$，因此 $f(x)$ 的定义域为 $x\geqslant 2$ 或 $x\leqslant -2$。
步骤 2：化简函数表达式
我们有 $f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{x^2}{x^4+1}$。为了将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$，我们需要将分母 $x^4+1$ 转换为与 $x+\dfrac{1}{x}$ 相关的形式。注意到 $x^4+1=(x^2)^2+1^2=(x^2+1)^2-2x^2$，因此
$$
f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2-2x^2}=\dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1-2x^2}=\dfrac{x^2}{x^4+1}=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}
$$
步骤 3：将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$
根据步骤 2 的结果，我们有 $f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}$。将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$，得到 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-2}$，其中 $x\geqslant 2$ 或 $x\leqslant -2$。
由于 $x+\dfrac{1}{x}$ 的定义域为 $x\neq 0$，因此我们需要考虑 $x$ 的取值范围。根据均值不等式，$x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2$ 或 $x+\dfrac{1}{x}\leqslant -2$，因此 $f(x)$ 的定义域为 $x\geqslant 2$ 或 $x\leqslant -2$。
步骤 2：化简函数表达式
我们有 $f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{x^2}{x^4+1}$。为了将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$，我们需要将分母 $x^4+1$ 转换为与 $x+\dfrac{1}{x}$ 相关的形式。注意到 $x^4+1=(x^2)^2+1^2=(x^2+1)^2-2x^2$，因此
$$
f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2-2x^2}=\dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1-2x^2}=\dfrac{x^2}{x^4+1}=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}
$$
步骤 3：将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$
根据步骤 2 的结果，我们有 $f(x+\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}$。将 $x+\dfrac{1}{x}$ 替换为 $x$，得到 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-2}$，其中 $x\geqslant 2$ 或 $x\leqslant -2$。