题目
【题目】设函数 y=1/(2x+3) ，则 y^((n))(0)=.
【题目】设函数 y=1/(2x+3) ，则 y^((n))(0)=.
题目解答
答案
【解析】因 (1/x)^((n))=((-1)^nn!)/(x^(n+1))2) [f(ax+b)]^((n))=a^nf^((n))(ax+b) ,(假设f(u)具有n阶导数)。故： y^((n))=((-1)^n2^n)/((2x+3)^(n+1))(2x+3)+1因此， y^((n))(0)=((-1)^n2^nn!)/(3^(n+1))
解析
步骤 1：求导数的一般形式
首先，我们考虑函数 y=1/(2x+3) 的导数。根据导数的定义和链式法则，我们可以得到 y 的 n 阶导数的一般形式。对于函数 y=1/u，其中 u=2x+3，我们有：
\[ y^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{u} \right) \]
步骤 2：应用导数公式
我们知道，对于函数 y=1/u，其 n 阶导数的一般形式为：
\[ y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{u^{n+1}} \]
步骤 3：代入 u=2x+3
将 u=2x+3 代入上述公式，我们得到：
\[ y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(2x+3)^{n+1}} \]
步骤 4：计算 y^((n))(0)
将 x=0 代入上述公式，我们得到：
\[ y^{(n)}(0) = (-1)^n \frac{n!}{(2 \cdot 0 + 3)^{n+1}} = (-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}} \]
首先，我们考虑函数 y=1/(2x+3) 的导数。根据导数的定义和链式法则，我们可以得到 y 的 n 阶导数的一般形式。对于函数 y=1/u，其中 u=2x+3，我们有：
\[ y^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{u} \right) \]
步骤 2：应用导数公式
我们知道，对于函数 y=1/u，其 n 阶导数的一般形式为：
\[ y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{u^{n+1}} \]
步骤 3：代入 u=2x+3
将 u=2x+3 代入上述公式，我们得到：
\[ y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(2x+3)^{n+1}} \]
步骤 4：计算 y^((n))(0)
将 x=0 代入上述公式，我们得到：
\[ y^{(n)}(0) = (-1)^n \frac{n!}{(2 \cdot 0 + 3)^{n+1}} = (-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}} \]