题目
(3)设L为半圆周 =sqrt (4x-{x)^2-3}, 则 _(1)=(int )_(L)dfrac (1)(sqrt [3]{x)}ds 与 _(2)=(int )_(t)dfrac (sqrt [3]{y)}(2)ds 的大小关系为 () .-|||-(A) _(1)gt (I)_(2) (B) _(1)=(I)_(2) (C) _(1)lt (I)_(2) (D)不确定
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的范围
曲线 $y=\sqrt {4x-{x}^{2}-3}$ 可以重写为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$，这是一个以(2,0)为圆心，半径为1的圆的上半部分。因此，L的范围是 $1 \leq x \leq 3$。
步骤 2：比较被积函数
在区间 $1 \leq x \leq 3$ 上，$x$ 的值大于 $y$ 的值，因为 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $y$ 的最大值为1。因此，$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 的值大于 $\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}$ 的值。
步骤 3：比较积分值
由于在L上，$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 的值大于 $\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}$ 的值，且积分区间相同，因此 ${I}_{1}={\int }_{L}\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}ds$ 的值大于 ${I}_{2}={\int }_{t}\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}ds$ 的值。
曲线 $y=\sqrt {4x-{x}^{2}-3}$ 可以重写为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$，这是一个以(2,0)为圆心，半径为1的圆的上半部分。因此，L的范围是 $1 \leq x \leq 3$。
步骤 2：比较被积函数
在区间 $1 \leq x \leq 3$ 上，$x$ 的值大于 $y$ 的值，因为 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $y$ 的最大值为1。因此，$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 的值大于 $\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}$ 的值。
步骤 3：比较积分值
由于在L上，$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 的值大于 $\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}$ 的值，且积分区间相同，因此 ${I}_{1}={\int }_{L}\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}ds$ 的值大于 ${I}_{2}={\int }_{t}\dfrac {\sqrt [3]{y}}{2}ds$ 的值。