题目

1.已知曲线过点(0,3),且曲线上任一点的切线-|||-斜率为 =cos x, 求该曲线的方程.

题目解答

答案

解析

本题考查的知识点是导数的几何意义以及不定积分的应用。解题的关键思路是利用曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过已知的切线斜率求出曲线的原函数，再结合曲线所过的点确定原函数中的常数。

  1. 设曲线方程为$y = f(x)$。
    • 根据导数的几何意义，曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线斜率$k$等于函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f^\prime(x_0)$。
    • 已知曲线上任一点的切线斜率$k=\cos x$，所以$f^\prime(x)=\cos x$。
  2. 对$f^\prime(x)=\cos x$求不定积分来得到$f(x)$：
    • 根据不定积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C$（其中$C$为积分常数），可得$f(x)=\sin x + C$。
  3. 利用曲线过点$(0,3)$来确定常数$C$：
    • 因为曲线$y = f(x)$过点$(0,3)$，所以将$x = 0$，$y = 3$代入$f(x)=\sin x + C$中。
    • 即$f(0)=\sin 0 + C$，又因为$\sin 0 = 0$，所以$0 + C = 3$，解得$C = 3$。
  4. 得到曲线方程：
    • 将$C = 3$代入$f(x)=\sin x + C$中，可得$f(x)=\sin x + 3$，即曲线方程为$y=\sin x + 3$。