题目

1. (5.0分) 设随机变量 X_(i)sim(}-1&0&11)/(4)&(1)/(2)&(1)/(4)),i=1,2 且满足P(X_(1)X_(2)=0)=1，则P(X_(1)=X_(2))=( )A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1

1. (5.0分) 设随机变量 $X_{i}\sim\left(\begin{matrix}-1&0&1\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right),i=1,2$ 且满足$P(X_{1}X_{2}=0)=1$，则$P(X_{1}=X_{2})=( )$

A. 0

B. 1/4

C. 1/2

D. 1

题目解答

答案

A. 0

解析

本题考查离散型随机变量的概率计算以及事件之间的关系。解题的关键在于根据已知条件$P(X_{1}X_{2}=0)=1$分析$X_1$和$X_2$取值的限制情况，进而计算$P(X_{1}=X_{2})$。

  1. 首先明确$P(X_{1}X_{2}=0)=1$的含义：
    • 根据概率的性质，$P(X_{1}X_{2}=0)=1$意味着$P(X_{1}X_{2}\neq0)=0$。
    • 而$X_{1}X_{2}\neq0$表示$X_1$和$X_2$都不能取$0$，即$P(X_1 = - 1,X_2 = - 1)+P(X_1 = - 1,X_2 = 1)+P(X_1 = 1,X_2 = - 1)+P(X_1 = 1,X_2 = 1)=0$。
  2. 然后分析$P(X_{1}=X_{2})$的取值情况：
    • $P(X_{1}=X_{2})$包含$P(X_1 = - 1,X_2 = - 1)+P(X_1 = 0,X_2 = 0)+P(X_1 = 1,X_2 = 1)$。
    • 由前面分析可知$P(X_1 = - 1,X_2 = - 1)=P(X_1 = - 1,X_2 = 1)=P(X_1 = 1,X_2 = - 1)=P(X_1 = 1,X_2 = 1)=0$。
    • 同时，因为$P(X_{1}X_{2}=0)=1$，所以$P(X_1 = 0$或$X_2 = 0)=1$，那么$P(X_1 = 0,X_2 = 0)=0$（可以通过概率的公式$P(X_1 = 0\cup X_2 = 0)=P(X_1 = 0)+P(X_2 = 0)-P(X_1 = 0,X_2 = 0)$，已知$P(X_1 = 0)=\frac{1}{2}$，$P(X_2 = 0)=\frac{1}{2}$，$P(X_1 = 0\cup X_2 = 0)=1$，代入可得$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-P(X_1 = 0,X_2 = 0)$，解得$P(X_1 = 0,X_2 = 0)=0$）。
    • 所以$P(X_{1}=X_{2})=P(X_1 = - 1,X_2 = - 1)+P(X_1 = 0,X_2 = 0)+P(X_1 = 1,X_2 = 1)=0 + 0+0 = 0$。