若行列式 D 中某一行的所有元素加上另一行对应元素的 k 倍，得到的新行列式记作 D'，则 D' 的值为？A. D + kB. DC. kDD. D - k

本题考查行列式的性质。解题思路是根据行列式的性质来判断当行列式某一行的所有元素加上另一行对应元素的$k$倍时，新行列式的值与原行列式值的关系。

设原行列式\(D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\)，不妨设将第$i$行的所有元素加上第$j$行对应元素的$k$倍（$i\neq j$），得到新行列式\(D'=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}+ka_{j1}&a_{i2}+ka_{j2}&\cdots&a_{in}+ka_{jn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\)。

根据行列式的性质：若某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。即\(D'=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ ka_{j1}&ka_{j2}&\cdots&ka_{jn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\)。

第一个行列式就是原行列式$D$，即\(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=D\)。

对于第二个行列式\(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ ka_{j1}&ka_{j2}&\cdots&ka_{jn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\)，根据行列式的性质：行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一个数$k$，等于用数$k$乘此行列式。可将$k$提出，得到\(k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\)。

又因为行列式中有两行元素相同，则此行列式的值为$0$，这里提出$k$后的行列式中第$i$行和第$j$行元素相同，所以\(k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=0\)。

那么$D' = D + 0 = D$。