4.3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) k,0lt (x)^2lt ylt xlt 1 0, ,

考查要点：本题主要考查二维概率密度函数的归一化条件及概率计算。
解题思路：

1. 求常数k：利用概率密度函数的积分等于1的性质，确定积分区域后解方程。
2. 求概率：根据事件定义确定积分区域，分步计算二重积分。
   关键点：

• 积分区域的几何分析：明确$0 < x^2 < y < x < 1$对应的区域形状。
• 分步积分：注意概率计算时需分情况讨论积分上下限。

第（1）题：求常数k

归一化条件：
$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \, dx \, dy = 1$
积分区域：$0 < x < 1$，$x^2 < y < x$。
计算步骤：

1. 写出积分表达式：
   $\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} k \, dy \, dx = 1$
2. 计算内积分：
   $\int_{x^2}^{x} k \, dy = k(x - x^2)$
3. 对外积分：
   $k \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{k}{6}$
4. 解得：
   $\frac{k}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 6$

第（2）题：求概率

$P\{ X > 0.5 \}$

积分区域：$0.5 < x < 1$，$x^2 < y < x$。
计算步骤：

1. 积分表达式：
   $6 \int_{0.5}^{1} \int_{x^2}^{x} dy \, dx = 6 \int_{0.5}^{1} (x - x^2) \, dx$
2. 计算积分：
   $6 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0.5}^{1} = 6 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{24} \right) = 0.5$

$P\{ Y < 0.5 \}$

积分区域：分为两部分：

1. 当$0 \leq x \leq 0.5$：$x^2 < y < x$；
2. 当$0.5 \leq x \leq \sqrt{0.5}$：$x^2 < y < 0.5$。

计算步骤：

1. 第一部分积分：
   $6 \int_{0}^{0.5} \int_{x^2}^{x} dy \, dx = 6 \int_{0}^{0.5} (x - x^2) \, dx = 0.5$
2. 第二部分积分：
   $6 \int_{0.5}^{\sqrt{0.5}} \int_{x^2}^{0.5} dy \, dx = 6 \int_{0.5}^{\sqrt{0.5}} (0.5 - x^2) \, dx \approx 0.1642$
3. 总概率：
   $0.5 + 0.1642 = 0.6642$