15、已知函数f(x)=e^x-ax-a^3.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

考查要点：本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，涉及导数的计算和点斜式方程的应用。

解题思路：

1. 确定切点坐标：将$a=1$代入函数，计算$f(1)$的值。
2. 求导数：对$f(x)$求导，得到$f'(x)$，再代入$x=1$求得切线的斜率。
3. 写切线方程：利用点斜式方程，结合切点坐标和斜率，整理成标准形式。

关键点：

• 正确代入$a=1$化简函数。
• 准确计算导数，注意$e^x$的导数仍是$e^x$。
• 代数运算的准确性，尤其是常数项的化简。

第（1）题

步骤1：计算$f(1)$

当$a=1$时，函数变为：
$f(x) = e^x - x - 1$
代入$x=1$：
$f(1) = e^1 - 1 - 1 = e - 2$
因此，切点坐标为$(1, e-2)$。

步骤2：求导数$f'(x)$

对$f(x)$求导：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) = e^x - 1$
代入$x=1$得斜率：
$f'(1) = e^1 - 1 = e - 1$

步骤3：写切线方程

用点斜式方程：
$y - (e-2) = (e-1)(x - 1)$
展开并整理：
$y = (e-1)x - (e-1) + (e-2) = (e-1)x - 1$
或写成标准形式：
$(e-1)x - y - 1 = 0$